L’objectif de ce chapitre est d’apporter quelques précisions à ce sujet, afin de clarifier ce que recouvrent ces deux expressions, de préciser comment elles permettent de repenser les enjeux de l’activité de résolution de problèmes et d’indiquer quelques pistes pour un travail orienté vers un apprentissage de nouvelles connaissances, donc pour aider les élèves à s’approprier un mode de résolution expert en prolongement des modes de résolution personnels mobilisés auparavant.

Dans le document d’application des programmes, le terme " solution " est utilisé dans un sens peut-être un peu inhabituel. Il ne désigne pas la réponse au problème, mais la stratégie, la démarche et les procédures mises en œuvre pour y parvenir. C’est également la signification que nous lui donnons ici.

Voici deux exemples de problèmes destinés à des élèves de la fin du cycle 3 et qui permettent de préciser la distinction entre solution personnelle et solution experte.

Emma a un paquet de bonbons.

Elle donne 8 bonbons à chacun de ses cinq camarades. Il lui en reste 3.

Combien y avait-il de bonbons dans le paquet ?

Evaluation à l’entrée en Sixième, 2002

On attend d’un élève de fin de cycle 3 qu’il détermine les deux étapes de la résolution : déterminer le nombre de bonbons donnés, puis le nombre de bonbons qu’il y avait dans le paquet. À partir de là, on attend que, pour calculer le nombre de bonbons distribués, il utilise le produit de 8 par 5 (mémorisé) et qu’ensuite il additionne 40 et 3 pour fournir la réponse. Il utilise alors le même raisonnement et les mêmes calculs que ceux qu’utiliserait une personne experte. On parle alors de " solution experte ".

S’il a compris la situation et la question posée et si, pour la première étape, il ne reconnaît pas que le recours au produit de 8 par 5 est efficace (ou s’il a oublié le résultat), il peut utiliser d’autres modes de résolution, comme calculer 8 + 8 + 8 + 8 + 8 ou même schématiser les 5 groupes de 8 bonbons et procéder à un dénombrement. Il utilise un mode de résolution correct, mais différent de celui mis en œuvre par une personne experte. On parle alors de " solution personnelle ".

On peut être étonné que, étant donné la variété et la " simplicité " des connaissances mathématiques mises en jeu aussi bien dans la solution experte que dans les solutions personnelles, plus d’un quart des élèves soient en difficulté face à ce problème. Une hypothèse plausible peut être avancée : ne reconnaissant pas immédiatement quelle solution experte peut être utilisée, certains élèves n’envisagent pas de se lancer dans l’élaboration d’une solution personnelle.

Les élèves d’une école ont réalisé une grande fresque de forme carrée en assemblant 196 petits tableaux tous identiques et eux aussi de forme carrée.

Combien de tableaux y a-t-il sur chaque côté de la fresque ?

Ils peuvent cependant résoudre ce problème en mobilisant des connaissances disponibles, par des essais de produits, par des essais de sommes itérées d’un même terme (avec le risque de ne pas aboutir !) ou même en tentant une schématisation de la fresque. Ils ont donc, à ce moment de leur scolarité, nécessairement recours à des solutions personnelles pour traiter ce problème qui peut être classé dans la catégorie des " problèmes pour chercher ".

La distinction entre solution personnelle et solution experte semble donc simple. En réalité, elle l’est moins qu’il n’y paraît.

D’autres paramètres que les connaissances utilisées sont en effet à prendre en compte pour déterminer le caractère expert d’une solution, comme le montrent les deux problèmes suivants.

Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet.

45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants.

Combien y a-t-il d’enfants dans l’autocar ?

Une personne experte calcule mentalement soit le complément de 45 à 60, soit la différence entre 60 et 45 : ce sont deux solutions expertes. Il n’existe donc pas nécessairement une seule solution experte pour un problème déterminé !

Si le même problème était posé avec un train, lui aussi complet, qui peut transporter 926 personnes et dans lequel sont déjà installés 389 adultes, un expert muni d’une calculatrice (ou d’une feuille de papier et d’un crayon) utiliserait sans doute la soustraction et non le complément.

Une personne experte est ainsi capable de choisir, entre plusieurs résolutions possibles, celle qui est la plus efficace, en sachant que, dans certains cas, différentes résolutions présentent le même niveau d’efficacité. L’expertise de cette personne se caractérise par le fait qu’elle est capable :

- de reconnaître la validité de plusieurs résolutions différentes, et donc leur équivalence du point de vue de leur adéquation au problème posé ;

- de juger de l’économie de chaque solution pour faire un choix adapté.

Complète la phrase ci-dessous à l’aide d’une fraction choisie dans la liste suivante :

L’aire du rectangle B est égale à … de l’aire du rectangle R.

D’après l’évaluation à l’entrée en Sixième, 2000

Là encore, compte tenu des dimensions et de la disposition des rectangles, un expert pourrait avoir recours à au moins deux solutions différentes (donc toutes deux considérées comme solutions expertes) :

- dénombrer le nombre de carreaux sur la longueur du rectangle R et le nombre de carreaux sur la largeur du rectangle B, puis déterminer le rapport de ces longueurs ;

- paver rapidement (à main levée) le rectangle R avec le rectangle B, puis déterminer le rapport de ces aires.

Depuis de nombreuses années, les programmes insistent sur la diversité des fonctions didactiques attribuées à la résolution de problèmes. Cependant, la tradition scolaire lui attribue une place bien particulière, souvent limitée au " problème d’application " que l’élève doit être capable de résoudre de manière experte, les connaissances nécessaires à cette résolution experte ayant été étudiées préalablement. Cet état de fait n’est pas sans effet pervers. Il peut expliquer en partie que, à l’âge de quinze ans, les élèves français obtiennent, en mathématiques, " des résultats supérieurs à la moyenne de l’OCDE lorsqu’il s’agit d’exercices purement scolaires, mais cela n’est plus le cas lorsque la situation nécessite une prise d’initiative (1) ".

L’exemple suivant illustre comment il est possible de travailler, à l’école primaire, cette capacité à " prendre des initiatives ".

Il existe une formule qui donne le résultat : l’aire d’un cerf-volant est égale au demi-produit des longueurs de ses diagonales.

Mais, un novice, comme l’est un élève de CM2 pour ce problème, doit imaginer une méthode " originale ". Aidé ou non  par l’enseignant qui se limite dans un premier temps à recueillir les différentes suggestions de la classe, il peut, par exemple, penser à inscrire le cerf-volant dans un rectangle, en faisant apparaître ses diagonales.

A partir de là, il existe plusieurs façons d’obtenir l’aire cherchée :

- calculer la somme des aires de quatre triangles rectangles, eux-mêmes considérés comme des demi-rectangles ;

- considérer que les aires des surfaces A et B sont égales et que la somme de leurs aires est la même que celle du rectangle situé " en haut, à gauche " ; puis appliquer le même raisonnement pour les surfaces C et D ;

- remarquer que l’aire du cerf-volant est égale à la moitié de celle du rectangle dans lequel le cerf-volant est " inscrit " ;

Autant de solutions personnelles valides, imaginables et compréhensibles par des élèves de CM2. La dernière citée pourrait facilement être exploitée pour mettre en évidence la " formule ", mais ce n’est pas l’objectif poursuivi. Il est plus intéressant, à ce niveau de la scolarité, de permettre aux élèves de prendre conscience qu’avec des connaissances réduites, de l’initiative et de l’imagination, il est possible de venir à bout de problèmes qui paraissent au départ complexes.

Concernant la résolution de problèmes, deux types d’objectifs complémentaires doivent donc être visés :

- rendre l’élève expert dans la résolution de certains problèmes pour lesquels il reconnaît rapidement le traitement approprié ;

- rendre l’élève capable d’initiative pour d’autres problèmes, c’est-à-dire capable d’imaginer des résolutions originales, de les tester et, en raisonnant, d’adapter ses connaissances pour traiter la situation proposée de manière personnelle, originale.

Extrait du document d’accompagnement des programmes de l’école primaire " Mathématiques ", partie " Résolution de problèmes et apprentissage " (MEN, CNDP).

(1) Note d’information 01.52 de la Direction de la programmation et du développement : " Les élèves de quinze ans. Premiers résultats d’une évaluation internationale des acquis des élèves (PISA) ".