Ce module traite de la comparaison des nombres entiers en lien avec la maîtrise de notre numération décimale de position.

L’objectif de ce module est de cerner les enjeux relatifs à son enseignement, les difficultés rencontrées par les élèves et de donner des pistes pour enseigner.

Lien avec les autres modules : Ce module peut être lié aux modules du parcours L’appropriation des nombres à l’école maternelle et au début de CP et aux modules du parcours Désignation chiffrée des nombres inférieurs à 1 000. On peut, bien sûr, aussi lier ce module au module 1 de ce même parcours sur la lecture et l’écriture des grands nombres.

Mots-clés : Numération décimale, numération orale, chiffre, nombre, inférieur, supérieur, comparaison, rangement, encadrement.

Répondre au questionnaire ci-dessous avant d’entamer l’étude de ce module vous permettra de faire un point sur vos connaissances sur le thème travaillé. Notez vos réponses sur une feuille pour pouvoir y revenir en fin de module.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Comparer des nombres écrits en chiffres ou dits oralement utilisent les mêmes règles.

2/ Comprendre la valeur d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre en termes de groupements est nécessaire à la compréhension des règles de comparaison des nombres.

3/ Utiliser une bande numérique (comme au cycle 1) et une droite graduée revient au même.

4/ Comparer deux nombres et ordonner une liste de nombres comportent les mêmes difficultés.

5/ Il est nécessaire de distinguer la différence entre les significations des mots chiffre et nombre dans les tâches de comparaison.

6/ Le compréhension des symboles < et > est une priorité.

7/ L’aspect ordinal et l’aspect cardinal sont présents dans la comparaison des nombres.

Compétence attendue en fin de cycle 2 (Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.20):

L’élève est capable de :

- écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Avec ces précisions dans les repères pour organiser la progressivité des apprentissages :

Pour les CE2 :
- Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million.
- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.

Pour les CM1 :
- Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.
- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.

 « L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. 

Les nombres entiers naturels :
- principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres ;
- désignation orale et écriture en chiffres et en lettres. 
- comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des signes > et <. »
Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.22.

On peut préciser que cette étude des nombres sous-entend l’acquisition des compétences suivantes :
- Connaître les relations entre les catégories d’unités.
- Connaître les relations entre les catégories de sous-unités (dizaines de, centaines de, etc.).
- Etre capable de dire le nombre de … (unités, dizaines, …) d’un nombre entier.

Séquence 1. Aspects théoriques

Séquence 2. Des difficultés potentielles

Séquence 3. Aspects pédagogiques

Séquence 4. Exemples de pratiques

1. Article théorique : Système de numération décimal, valeur positionnelle des chiffres
Article de F. Cerquetti-Aberkane et M.-C. Marilier

2. Article théorique : Bases, regroupements et échanges
Article de F. Cerquetti-Aberkane et M.-C. Marilier

3. Article théorique : Chiffres et nombres
Article de F. Cerquetti-Aberkane et M.-C. Marilier

4. Article théorique : Comparaison et rangement des nombres
Article de R. Charnay

5. Article théorique : File numérique et graduations
Article de R. Charnay

Voici quelques exemples d’erreurs les plus fréquentes :

-  Des confusions entre les significations des mots chiffre et nombre sont très courantes. Ainsi les élèves pensent que le nombre de dizaines du nombre 4 521 est 2 et non 452. Ils répondent de la même manière aux questions suivantes : « Quel est le chiffre des dizaines ? » et « Quel est le nombre de dizaines ? ». Il ne faut cependant pas surestimer la difficulté et vérifier, par d'autres formulations de la question, si elle est liée à une incompréhension profonde ou seulement à une confusion lexicale. On peut, par exemple, demander "Combien y a-t-il de dizaines de 1 425 ?" ou même "Combien de paquets de 10 objets peut-on réaliser avec 1 425 objets ?". Si l'élève répond correctement à l'une ou l'autre de ces questions, on peut faire l'hypothèse que la difficulté est plutôt d'ordre lexical.

-  Des difficultés peuvent résider dans la compréhension de toutes les informations que l’on peut tirer d’une écriture chiffrée d’un nombre. Par exemple, comprendre que dans le nombre 12 3456 789 contient 1 234 567 dizaines ou 123 456 centaines, etc.

-  Plusieurs difficultés peuvent apparaître dans l’utilisation des droites graduées : le passage de l’utilisation du nombre pour mesurer une longueur à son utilisation pour repérer une position et la compréhension de la notion d’origine de la droite graduée. Cette deuxième difficulté se révèlera en particulier dans les exercices où l’origine n’est pas présente dans la représentation de la droite graduée donnée.

-  La compréhension et le maniement des symboles mathématiques < et > peut poser des problèmes.

-  Pour les questions relatives au rangement d'une série de nombres, des difficultés d’organisation peuvent apparaître lorsque la série comporte beaucoup de nombres.

1. Réponse à la question pédagogique : Comparer des nombres par leurs écritures chiffrées et comparer des nombres par leurs désignations orales font-ils appel aux mêmes règles ?
R. 212-1 : Les règles des numérations écrites et orales ne sont pas les mêmes.

2. Réponse à la question pédagogique : Mes élèves savent reconnaître dans l’écriture chiffrée d’un nombre le chiffre des unités, des dizaines, etc. Est-ce bien là l’essentiel ?
R.210-1 : Cette reconnaissance est importante mais n’est pas suffisante.

3. Réponse à la question pédagogique : Quelle progression mettre en place en début de CP et en CE1 pour travailler la notion d’ordinal ?
Les règles de comparaison des nombres à partir de leurs écritures chiffrées peuvent être travaillées par des activités motivantes. Ces activités proposées au cycle 2 peuvent être aménagées avec des nombres plus grands pour le cycle 3.
R.11-2 : Des activités pour travailler la comparaison des nombres à partir de leur écriture chiffrée.

4. Réponse à la question pédagogique : La droite graduée est-elle un bon outil pour travailler l’ordre des nombres ?
R.213-1 : Un outil qu’il faut apprendre à maîtriser.

Afin de vous aider à mettre en œuvre en classe des activités visant la maîtrise de la lecture des nombres, nous vous proposons ci-après un ensemble de fiches d’activités.

1. Fiche d’activité : Les trombones
Une activité dont l’objectif et d’amener les élèves à savoir tirer les informations de l’écriture chiffrée d’un nombre.
Fiche associée à la réponse R.210-1

2. Fiche d’activité : Jeu de dés
Un jeu à pratiquer dès le CP pour comparer des nombres à deux chiffres. Jeu de hasard et de stratégie.
Fiche associée à la réponse R.11-2

3. Fiche d’activité : Le plus grand nombre
Un jeu à pratiquer à partir du CE1 pour comparer des nombres à trois chiffres. Jeu de hasard et de stratégie.
Fiche associée à la réponse R.11-2

4. Fiche d’activité : La corde à nombres
Une activité permettant de comparer, ranger, intercaler des nombres dans une file ordonnée.
Fiche associée à la réponse R.11-2

5. Fiche d’activité : Les caches
Une activité permettant de comparer, encadrer, intercaler des nombres sur une droite graduée.
Fiche associée à la réponse R.213-1

Ce questionnaire, qui reprend les questions du début du parcours, vous permettra d’évaluer l’acquisition des différentes connaissances travaillées au travers de ce module.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Comparer des nombres écrits en chiffres ou dits oralement utilisent les mêmes règles.

2/ Comprendre la valeur d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre en termes de groupements est nécessaire à la compréhension des règles de comparaison des nombres.

3/ Utiliser une bande numérique (comme au cycle 1) et une droite graduée revient au même.

4/ Comparer deux nombres et ordonner une liste de nombres comportent les mêmes difficultés.

5/ Il est nécessaire de distinguer la différence entre les significations des mots chiffre et nombre dans les tâches de comparaison.

6/ Le compréhension des symboles < et > est une priorité.

7/ L’aspect ordinal et l’aspect cardinal sont présents dans la comparaison des nombres.

Trois questions pour finir :

8/ Quelles sont les différentes procédures de comparaison des nombres écrits en chiffres ?

9/ Quelles sont les différentes procédures de comparaison des nombres donnés oralement.

10/ Quelles sont les difficultés d’utilisation d’une droite graduée ?

1/ Comparer des nombres écrits en chiffres ou dits oralement utilisent les mêmes règles.
Faux. La comparaison des nombres écrits en chiffres est basée sur les règles de la numération décimale chiffrée alors que la comparaison des nombres dits oralement est fondée sur la numération orale, or ces deux numérations ne suivent pas entièrement les mêmes règles. Seule la comparaison des nombres assez petits est semblable : dans l’un et l’autre cas, elle est souvent basée sur la connaissance des suites numériques écrite et orale et le fait que plus un nombre est loin dans cette suite plus il est grand ou sur la référence à des quantités d'objets (doigts, par exemple).

2/ Comprendre la valeur d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre en terme de groupements est nécessaire à la compréhension des règles de comparaison des nombres.
Vrai. Pour comparer des nombres exprimés avec des chiffres, on commence par comparer les longueurs des écritures de ces nombres. Celui qui a le plus de chiffres est le plus grand. En cas d’égalité du nombre de chiffres, on compare les chiffres ayant la même position en commençant par ceux de gauche, c'est-à-dire du rang le plus grand. Pour comprendre cette règle, il est nécessaire de bien comprendre la valeur des chiffres dans l’écriture des nombres et surtout leur évocation en termes de groupements.

3/ Utiliser une bande numérique (comme au cycle 1) et une droite graduée revient au même.
Faux. Il y a une grande différence entre la bande numérique utilisée aux cycles 1 et 2 et la droite graduée. Dans la première, les nombres sont écrits dans des cases, cases qui ont souvent la taille du nombre qu’elle contient, dans la seconde, les nombres repèrent des positions placées à intervalles réguliers. L’espace qui séparent deux nombres est proportionnel à l’écart entre ces deux nombres.

4/ Comparer deux nombres et ordonner une liste de nombres comportent les mêmes difficultés.
Vrai et Faux. Si l’on retrouve les difficultés de comparaison dans les tâches de rangement, il s’en greffe d’autres, des difficultés d’organisation. Ces difficultés dépendent de la quantité de nombres à comparer. Si la liste est longue, la compréhension de la transitivité de la relation de supériorité est bien utile. Par exemple : 105 est inférieur à 112 et 112 est inférieur à 121 donc 105 est inférieur à 121, inutile de les comparer.

5/ Il est nécessaire de distinguer la différence entre les significations des mots chiffre et nombre dans les tâches de comparaison.
Vrai et faux. Les élèves doivent comprendre qu'un chiffre est un graphisme (une trace laissée par un crayon) et qu'un nombre est un concept susceptible d'évoquer des quantités, des grandeurs, des positions… Cependant le langage courant ne fait pas toujours cette distinction (chiffre d'affaire, chiffres du chômage…). La confusion lexicale explique parfois que les élèves répondent 5 lorsqu'on leur demande le nombre de dizaines de 359 alors qu'ils répondent correctement 35 lorsqu'on leur demande combien il y a de dizaines dans 359. Dans ce cas, un travail sur le lexique devrait suffire à lever l'ambiguïté.

6/ Le compréhension des symboles < et > est une priorité.
Faux. Le langage symbolique ne doit être introduit que lorsque le concept est installé : il faut savoir comparer deux nombres avant d'exprimer le résultat de la comparaison à l'aide de ces symboles. En particulier, dans le cadre de l'évaluation, il convient de bien distinguer ces deux compétences : savoir comparer et savoir exprimer le résultat d'un comparaison à l'aide des symboles < et >.

7/ L’aspect ordinal et l’aspect cardinal sont présents dans la comparaison des nombres.
Vrai. Suivant la procédure de comparaison choisie, c’est plutôt l’un ou l’autre qui est utilisé. Par exemple, lorsque l’on dit que 12 est supérieur à 5 parce qu’une collection de 12 objets est plus grande qu’une collection de 5 objets, c’est l’aspect cardinal. Mais si l’on dit que 12 vient après 5 dans la suite numérique alors c’est l’aspect ordinal. Lorsque l’on compare les nombres à partir de leur écriture chiffrée en s’intéressant aux nombres de groupements que cela représente, c’est à nouveau l’aspect cardinal qui est en jeu.

8/ Quelles sont les différentes procédures de comparaison des nombres écrits en chiffres ?
Il est possible de comparer les nombres en faisant référence aux quantités qu’ils représentent si l’on en a une image mentale. Par exemple, je sais lire les nombres 124 et 45 et je sais que qu’une collection de 124 objets compte plus d’éléments qu’une collection de 45 objets sans utiliser l’écriture elle-même des nombres.

Lorsque les nombres à comparer sont assez petits, on peut les comparer en étudiant leur position relative sur la bande numérique (par exemple, 9 est situé plus loin que 5 donc 9 est plus grand que 5) ou en évoquant des quantités (de doigts, par exemple). Ces deux stratégies, ordinale et cardinale, doivent être mises en relation en associant les quantités aux nombres de la file numérique.

Lorsque les nombres sont plus grands on peut les comparer en s’appuyant sur les règles de la numération écrite. On commence par comparer les longueurs des écritures de ces nombres. Celui qui a le plus de chiffres est le plus grand. En cas d’égalité du nombre de chiffres, on compare les chiffres ayant la même position en commençant par ceux de gauche, c'est-à-dire du rang le plus grand. Pour comprendre la justification de cette règle, il est nécessaire de bien comprendre la valeur des chiffres dans l’écriture des nombres et surtout leur traduction en termes de groupements.

9/ Quelles sont les différentes procédures de comparaison des nombres donnés oralement.
Il est également possible de comparer les nombres en faisant référence aux quantités qu’ils représentent si l’on en a une image mentale comme dans le cas précédent.

Pour comparer cinq et neuf, on peut étudier leur position relative dans la comptine numérique. Je dis neuf après cinq donc neuf est plus grand que cinq.

Pour comparer des nombres par leurs désignations orales, on compare les groupements qui apparaissent dans le nom des nombres, cent, mille, millions, etc. Par exemple, cinq millions trois cent mille est supérieur à quarante-cinq mille puisque les millions apparaissent dans le premier mais pas dans le second. Ou bien pour comparer douze millions cent trente-deux et huit millions cinq cent deux mille, il faut comparer douze et huit.

10/ Quelles sont les difficultés d’utilisation d’une droite graduée ?
Il y a une grande différence entre la bande numérique utilisée aux cycles 1 et 2 et la droite graduée. Dans la première, les nombres sont écrits dans des cases, dans la seconde, les nombres repèrent des positions placées à intervalles réguliers (dans le cas de certaines files numériques, ces intervalles ne sont pas réguliers). Comprendre l’utilisation d'une droite graduée sous-entend d’avoir compris un certain nombre de propriétés qui sont détaillées dans la réponse à la question 213.

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