Plusieurs procédures de comparaison des nombres entiers existent. Au cycle 1 et au début du cycle 2, les élèves sont amenés à comparer des collections, du point de vue de la quantité d’objets qu’elles contiennent, soit par correspondance terme à terme, soit, déjà, en utilisant les nombres qu’ils connaissent. A partir du cycle 2, ils sont confrontés à la comparaison des nombres à partir de leur écriture en chiffres ou de leur désignation orale. Ce module traite plus particulièrement de l’ordre sur les nombres entiers inférieurs à 1 000 écrits en chiffres.

Lien avec les autres modules : La comparaison des nombres entiers est liée aux systèmes de désignations des nombres. Ce module peut donc être complété par les deux modules du parcours Désignation orale et littérale des nombres inférieurs à 1 000 et aux modules du parcours Désignation chiffrée des nombres inférieurs à 1 000.

Mots-clés : numération décimale, comparer, ranger, encadrer, ordre, inférieur, supérieur, ordinal, cardinal.

Répondre au questionnaire ci-dessous avant d’entamer l’étude de ce module vous permettra de faire un point sur vos connaissances sur le thème travaillé. Notez vos réponses sur une feuille pour pouvoir y revenir en fin de module.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Maîtriser la numération décimale est une compétence nécessaire à l’apprentissage de la comparaison des nombres entiers.

2/ Comparer et ranger des nombres nécessitent les mêmes capacités.

3/ Le travail sur des grands nombres favorise l’élaboration de stratégies de comparaison des nombres.

4/ On peut aussi bien utiliser les expressions « inférieur » et « supérieur » que « plus petit » et « plus grand ».

5/ Il faut introduire les symboles < et > dès le début des apprentissages sur l’ordre.

6/ La connaissance de la comptine numérique est utile à la comparaison des nombres.

7/ Les verbes « ranger » et « classer » ont la même signification en mathématiques.  

Compétence attendue en fin de maternelle (Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.16):

- Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités.

On peut préciser que la comparaison des quantités peut se faire en utilisant des procédures non numériques ou numériques.

Compétence attendue en fin de cycle 2 (Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.20):

- Comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000

« Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. » » Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.16.

« Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. » Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.18.

On peut ajouter que les élèves construisent leurs premières connaissances sur la comparaison des nombres, en appui à la fois sur leur aspect cardinal (4 c’est moins que 7) et sur leur aspect ordinal (4 est situé avant 7 dans la suite des nombres). »

Séquence 1. Les enjeux de l’apprentissage

Séquence 2. Les difficultés potentielles

Séquence 3. L’évaluation des compétences des élèves

Séquence 4. Aspects pédagogiques

Séquence 5. Exemples de pratiques

Les élèves acquièrent le sens des nombres à travers la résolution de quelques grandes catégories de problèmes dont ceux relatifs à la « comparaison des quantités » notamment lorsque les collections sont matériellement éloignées l’une de l’autre. En effet, cet éloignement et la taille des collections inciteront les élèves à utiliser les nombres pour comparer les quantités d’objets des collections en présence.

Jusqu’à 10, l’ordre des nombres entiers doit être mémorisé, à l’issue d’un travail au cours duquel il peut être retrouvé en s’appuyant sur la comptine orale, sur des quantités témoins (de doigts, par exemple) ou grâce à la file numérique écrite. Au-delà, la maîtrise de notre numération décimale de position permet d’ordonner les nombres entiers. Il est donc indispensable de permettre aux élèves de s’approprier différents outils de comparaison.

La procédure experte de comparaison de deux nombres écrits en chiffres peut s’énoncer ainsi :

- si les deux nombres n’ont pas le même nombre de chiffres, celui qui en a le plus est le plus grand ;

- si les deux nombres ont autant de chiffres, on compare les " chiffres " des deux nombres rang par rang à partir de la gauche, dès qu’ils diffèrent on peut conclure que celui qui a " le plus grand chiffre " est le plus grand des deux nombres.

Les difficultés peuvent s’expliquer par une mauvaise maîtrise de la numération décimale de position. On peut alors voir apparaître des erreurs des types suivants :

Ø L’élève n’applique que la deuxième partie de la procédure experte en comparant les chiffres de gauche sans avoir regardé si les nombres avaient ou non autant de chiffres. Ainsi il affirme : 62 > 235 car 6 > 2.

Ø L’élève peut mal interpréter l’écriture chiffrée des nombres et penser que les chiffres qui le composent s’ajoutent. Dans ce cas il notera 39 > 71 car 3 + 9 > 7 + 1.

D’autres difficultés, de nature différente, peuvent trouver leurs sources dans une mauvaise maîtrise du symbolisme. L’élève est capable de montrer le nombre le plus grand mais se trompe de symbole (< et >). Les erreurs relevant du symbolisme doivent donc être distinguées des erreurs de comparaisons.

La comparaison des nombres dits à l’oral ou écrits sous forme littérale s’appuie sur les mots utilisés pour énoncé le nombre. Le nombre de mots n’intervient plus comme le faisaient le nombre de chiffres. La difficulté peut venir du fait que les élèves doivent prendre conscience de cette différence.

Exercice 6 du livret d’évaluation CE1, épreuve A, 2006 : " Sur chaque ligne, vous devez entourer l’écriture qui désigne le nombre le plus grand ".

       23             32      _                            82                28     _

       45             54      _                            98                89      _

     Treize        Trente     _                        Cent         Cinquante _

Cet exercice insiste sur la valeur d’un chiffre en fonction de sa position dans l’écriture d’un nombre.

Banqoutils propose des fiches avec des exercices sur la comparaison, le rangement des nombres écrits en chiffres :

Les données ci-dessous vous apporteront quelques outils pour faire travailler l’ordre sur les nombres entiers à partir de leur écriture chiffrée.

Ce questionnaire vous permettra d’évaluer l’acquisition des différentes connaissances travaillées au travers de ce module. Vous retrouvez tout d’abord les affirmations vraies ou fausses du début du module. Vos réponses ont-elles évoluées ? Trois questions ensuite pour aller plus loin.

2/ Comparer et ranger des nombres nécessitent les mêmes capacités.

3/ Fréquenter des grands nombres favorise l’élaboration de stratégies de comparaison des nombres.

4/ On peut aussi bien utiliser les expressions " inférieur " et " supérieur " que " plus petit " et " plus grand ".

5/ Il faut introduire les symboles < et > dès le début des apprentissages sur l’ordre.

6/ La connaissance de la comptine numérique est utile à la comparaison des nombres.

7/ Les verbes " ranger " et " classer " ont la même signification en mathématiques.

8/ Qu’est que l’aspect ordinal des nombres ? Quel autre aspect existe-t-il ?

9/ Quels outils permettent de travailler l’ordre sur les nombres ?

10/ Quelles sont les connaissances nécessaires à la comparaison des nombres entiers ?

Vrai. La comparaison des petits nombres peut se faire en se référant à leur aspect cardinal en comparant les quantités d’objets des collections qu’ils expriment et en utilisant alors des procédures non nécessairement numériques. Mais dès que les nombres sont suffisamment grands il devient indispensable de disposer d’une méthode. Deux sont principalement sollicitées. La première consiste à se référer à l’aspect ordinal des nombres : mise en relation de la place des nombres dans la suite (13 est avant 24) et comparaison (13 est plus petit que 24), La deuxième consiste à utiliser un algorithme fondé sur la maîtrise de la numération décimale (Pourquoi 152 est-il supérieur à 139 ?) (R.17-1).

Faux. Pour ranger des nombres il faut déjà savoir les comparer. Si la capacité à comparer des nombres est assurée, la difficulté du rangement est essentiellement d’ordre stratégique et dépend largement de la quantité des nombres à ranger (cf. article Comparaison et rangement des nombres). La compréhension de la consigne relative au rangement d’une liste de nombres suppose également la maîtrise d’expressions comme " du plus petit au plus grand " (puis " par ordre croissant ").

Vrai. L’observation et l’utilisation de grands nombres dès la GS et le CP favorisent l’émergence de stratégies fondées sur les principes de notre numération. Par exemple, si l’on propose des collections importantes d’objets à comparer, le comptage direct des collections à comparer n’est souvent plus accessible aux élèves. Ils vont devoir alors élaborer différentes stratégies et être amenés à utiliser des regroupements et des correspondances par paquets (R.16-1). Puis l’utilisation de nombres dépassant 100 incitera à utiliser un algorithme de comparaison en distinguant les cas où les nombres sont écrits avec le même nombre de chiffres et ceux qui sont écrits avec un nombre de chiffres différent.

Vrai et faux. Dans l’absolu, ces formulations peuvent être considérées comme équivalentes. Mais, les termes " inférieur " et " supérieur " sont plus difficiles et moins expressifs que les expressions " plus petit " et " plus grand " et peuvent être réservés à la fin du cycle 3 et au collège (cf. article Comparaison et rangement des nombres).

Faux. Le langage symbolique ne peut et ne doit pas être introduit en même temps que le langage verbal. L’apprentissage des symboles < et > ne doit pas prédominer sur celui des procédures de comparaison. Les élèves doivent savoir comparer avant de savoir exprimer à l’aide de ces symboles (cf. article Comparaison et rangement des nombres).

Vrai. Comparer deux nombres en utilisant leur aspect ordinal c’est dire lequel est avant l’autre dans la liste ordonnée des nombres. La connaissance de la comptine numérique permet donc de répondre à cette question, notamment pour les " petits " nombres.

Faux. Classer des objets ou des collections d’objets c’est mettre ensemble les objets équivalents au sens du critère retenu (tous les objets rouges, toutes les collections contenant le même nombre d’objets). Ranger des objets ou des collections d’objets c’est établir un ordre en fonction du critère choisi (du plus léger au plus lourd, de la collection ayant le plus d’objets à celle qui en a le moins). (R.126-1)

Les entiers naturels permettent d’exprimer et de garder en mémoire la position d’un objet dans une liste rangée (c’est le sixième, le numéro 6…). Cet usage correspond à l’aspect ordinal du nombre, caractérisé par leur organisation en une suite qui est souvent matérialisée par une bande numérique, puis par une ligne graduée. (cf. article Aspect ordinal du nombre).

Les entiers naturels ont aussi un aspect cardinal qui est utilisé pour exprimer une quantité d’objets (il y en six).

9/ Quels outils permettent de travailler l’ordre sur les nombres ?

Les différents affichages proposés (bandes horizontale ou verticale, spirale ou tableau de nombres), les compteurs et calculettes permettent un travail sur l’aspect ordinal du nombre. (R.11-1).
Mais l’ordre sur les nombres doit aussi être vu sous l’angle cardinal ou celui de la mesure : collections organisées ou non en centaines, dizaines ou unités ; longueurs exprimées avec plusieurs unités (m et cm, par exemple), monnaie (en € et c)…

Les différentes procédures de comparaison des nombres nécessitent différentes connaissances : la connaissance de la signification des nombres entiers, la maîtrise des numérations orale et écrite, la compréhension du langage verbal ou symbolique et celle des propriétés de la relation d’ordre (cf. article Comparaison et rangement des nombres).

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