PARCOURS : Fractions au cycle 3

Module n°2 : Les fractions à l’école élémentaire

Le travail sur les fractions est un des points les plus délicats à traiter au Cycle des approfondissements. Il nécessite un long temps de maturation, tant sont complexes les phénomènes cognitifs et mathématiques en jeu.

L'étude des fractions et des nombres rationnels pour eux-mêmes n'est pas un objectif de l'école élémentaire et il faut se garder de trop insister sur l'aspect calculatoire portant sur ces nombres. C'est seulement au collège que les nombres rationnels (fractions, quotients) seront développés et que des techniques de comparaison ou de calcul seront systématisées. Il ne s’agit donc pas, à l’école primaire, d’épuiser le sujet, mais de donner les bases suffisantes pour la compréhension de la construction des nombres décimaux, élément fondamental du programme de ce cycle.

Soulignons encore que seules quelques connaissances sont exigibles au cycle 3 concernant les fractions simples : égalité, comparaison, addition, et toujours dans des situations possédant du sens pour les élèves. En particulier, c'est dans un contexte donné que «prendre une fraction d'un nombre» devra être utilisé, ceci n’étant explicitement qu’au programme du collège.

Le travail sur les fractions à l’école élémentaire est en relation avec l’étude des nombres décimaux. L'aspect le plus important qui sera traité à propos des fractions relève du fractionnement et de l'utilisation des fractions décimales en vue de leur transformation en nombres décimaux.

Mots-clés : fractions, rationnels, quotient, numérateur, dénominateur, comparaison de fractions, égalité de fractions.

FAIRE LE POINT

Ce questionnaire vous permettra de faire un premier point sur les éléments travaillés dans ce module. Noter vos réponses et vérifier à la fin du parcours.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Il faut travailler les nombres décimaux avant les fractions.

2/ Placer des fractions sur la droite graduée n’est pas au programme du cycle 3.

3/ Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs est au programme du cours moyen.

4/ L’addition de fractions n’est pas au programme du cours moyen.

5/ Dans une fraction le numérateur est toujours inférieur au dénominateur

Les enjeux

1. Compétences attendues en fin de cycle 3

- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième.

- Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.

- Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.

- Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

- Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

(Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n°3 du 19 juin 2008)

2. Ce que disent les programmes

Les programmes du cycle 3 précisent en ce qui concernent les fractions :

«  fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur »

(Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n°3 du 19 juin 2008)

On peut ajouter que :

« Au cycle 3, les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier linsuffisance des entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Lécriture à virgule est présentée comme une convention décriture d’une fraction décimale ou dune somme de fractions décimales, le lien avec le système métrique étant fait ensuite. Seules quelques fractions usuelles (exprimées en demis, quarts, tiers et fractions décimales) sont utilisées par les élèves, et travaillées dans le but d'introduire les nombres décimaux par le biais des fractions décimales. La fraction est introduite enférence au partage dune unité, le dénominateur indiquant la nature du partage et le numérateur le nombre de parts considérées (, lu « trois quarts », est compris comme « trois fois un quart »).

Le travail sur les écritures fractionnaires reste donc modeste à l'école primaire : ni les calculs, ni les comparaisons, ni les égalités ne sont l'objet de compétences devant être acquises à la fin du cycle 3, mais les élèves ont résolu ce type de questions en se référant à la signification de lécriture fractionnaire. Ils ont appris à encadrer une fraction simple par deux entiers naturels consécutifs et à lécrire sous  forme de somme d’un entier  naturel et dune fraction inférieure à 1. »

Remarque extraite des documents d’accompagnement articulation école/collège des programmes, 2005,

CONTENUS DE LA FORMATION

Séquence 1. Quelques repères théoriques

Séquence 2. Difficultés d’élèves et activités permettant un diagnostic.

Séquence 3. Aspects pédagogiques

Séquence 4. Exemples de pratiques

Déroulement de la formation

Séquence 1. Quelques repères théoriques

Pour approfondir ces éléments, il est conseillé de voir :

1) Article théorique : Ecriture à l’aide de fractions décimales.
Article de R Charnay

2) Article théorique : graduations et fractions.
Article de R. Charnay

3) Article théorique : Comparaison de 2 fractions.
Article de R. Charnay

Séquence 2. Difficultés d’élèves et activités permettant un diagnostic

Les difficultés rencontrées peuvent être classées de la façon suivante.

- penser qu’une fraction représente deux entiers séparés, les croire indépendants

- ne pas savoir lire ou écrire une fraction

- problème en rapport avec l’ordre et l’égalité. Par exemple  est vu comme différent de et de plus  est considéré comme supérieur à

n’est pas reconnu comme un entier. 

Vous trouverez sur le site « Banque d’outils d’aide à l’évaluation diagnostique » des activités pour aider chacun de vos élèves. 

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E3MIGAM01.pdf

Mettre en relation des fractions simples et leurs représentations

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E3MIGRT02.pdf

Mettre en relation diverses situations classiques avec une fraction. L'objectif est de repérer si l'élève associe correctement le nombre  et des situations qu'il peut représenter. L'élève doit reconnaître parmi des propositions, groupées par familles, celles qui peuvent être associées au nombre  donné. En CM2 cette évaluation est clairement à but prospectif.

Séquence 3. Aspects pédagogiques

La réponse aux questions ci-dessous vous éclairera sur les enjeux d’un travail sur les fractions au cycle 3 et vous aidera à mettre en place des activités efficaces.

1) Réponse 1 à la question pédagogique : Quelles questions se poser, concernant les fractions et les décimaux, pour apprécier les qualités, les défauts et les manques du manuel de mathématiques utilisé dans ma classe ? Comment intégrer la progression des robots sur les fractions ? Est-ce utile ou pertinent ?
P79-1
 : Veiller à ce que les représentations erronées des élèves ne soient pas confortées par les progressions proposées

2) Réponse 1 à la question pédagogique : Est-il préférable de commencer par introduire les fractions avant les nombres décimaux ou l’inverse ?
P82-1
 : Une référence incontournable aux programmes officiels.

3) Réponse 1 à la question pédagogique : Quelle progression mettre en place pour introduire les fractions et quelles notions évaluer au cours de cette progression?
P 65-1
 : Un exemple de progression : la situation des robots.

4) Réponse 1 à la question pédagogique : Quel est l’intérêt de la progression sur les fractions utilisant la situation des robots et quelles connaissances concernant les fractions sont travaillées dans la progression proposée ?
P62-1
 : Une situation de référence permettant d’atteindre les objectifs de l’école élémentaire sur les fractions.

5) Réponse 1 à la question pédagogique : Quels sont les contenus mathématiques abordés lors de la situation des robots ? La progression construite à partir de cette situation respecte-t-elle les instructions officielles du cycle 3 ? De la classe de sixième ?
P64-1
Une progression en accord avec les programmes de cycle 3 et préparant à la classe de sixième

6) Réponse 1 et 2 à la question pédagogique :  Comment donner du sens aux décompositions additives de fractions en parties entières et partie fractionnaire et permettre aux élèves de les mémoriser ?
P71-1 : Donner du sens aux décompositions de fractions en partie entière et partie fractionnaire, un enjeu essentiel pour les apprentissages au collège.
P71-2 : Le point de vue des programmes.

7) réponse 1 à la question pédagogique : Comment expliquer à des élèves de CM ou de sixième les notions de fractions inférieures à 1, supérieures à 1, et de fractions égales ?
P70-1
 : Privilégier le sens plutôt que des recettes

8) Réponse 1 à la question pédagogique : Pourquoi et comment travailler le placement des fractions sur une droite graduée?
P 63-1
Aborder l’ordre des nombres rationnels, un enjeu à long terme en cours moyen pour comprendre l’ordre sur les décimaux
 

Séquence 4. Exemples de pratiques

Afin de vous aider à mettre en œuvre en classe des activités visant la connaissance des fractions, nous vous proposons ci-après un ensemble d’extraits de séances filmées en classe pouvant constituer des pratiques de référence. 

1) Clip : Introduction de l’écriture fractionnaire.
Le professeur introduit l’écriture fractionnaire à partir du trajet d’un robot sur la droite graduée. La fraction 3/4  représente la longueur du pas d’un robot qui atteint le nombre 3 en 4 pas.

Vidéo CM1 : Introduction de la notation fractionnaire et du vocabulaire (Séance 9 ; clip 1)

2) Clip : dictée de fractions.
Le professeur dicte des fractions que les élèves écrivent sur leur ardoise.

Vidéo CM1 : Entraînement à l’oral (Séance 10 ; clip 1)
 

3) Clip : exercices avec des fractions décimales
Le professeur propose de travailler sur deux fractions inégales.

Vidéo CM1 : Entraînement à l’oral (Séance 10 ; clip 4)

4) Clip : Atelier Jeu de mémory
Les élèves réalisent des mariages avec des cartes contenant des fractions égales qui sont écrites de façon différente, puis jouent à un jeu de mémory.

Vidéo CM1 : Présentation des jeux de mariage, loto et dominos (Séance 11 clip 4)

5) Clip : Atelier jeu de dominos
Les élèves doivent apparier des fractions équivalentes qui ne sont pas écrites de la même façon.

Vidéo CM1 : Présentation des jeux de mariage, loto et dominos (Séance 11 clip 5) 

6) Clip : Atelier jeu de loto
Les élèves jouent à un jeu de loto avec des écritures fractionnaires.

Vidéo CM1 : Présentation des jeux de mariage, loto et dominos (Séance 11 clip 6)
 

7) Clip : Décomposition additives multiples d’une même mesure.
Les élèves mesurent une bande de papier avec des demis et des quarts puis finalement utilisent uniquement des quarts.
Vidéo CM : Des quarts et des demis pour mesurer des segments, des écritures additives. (Séance 3 clip 2) 

8) Clip : Recherche de l’abscisse de A
Les élèves utilisent la bande unité et l’origine pour trouver l’abscisses du point A.

Vidéo CM : recherche des abscisses des points sur une droite graduée. (Séance 5 clip 1)

Les données ci-dessous vous permettront de diversifier les approches de la notion étudiée, de varier les outils, tous n’ayant pas le même apport :

9) fiche d’activité : Activités à mettre en place au premier trimestre pour préparer le travail sur les fractions.
Il s’agit d’exercices proposés pour préparer le travail sur les fractions.

Fiche FA 61 associée à la réponse P60-1

10) fiche d’activité : Progression pour introduire les fractions
Un progression utilisant la marche régulière de robots sur la droite graduée est proposée.

Fiche FA 70 associée à la réponse P62-1
 

11) fiche d’activité : Placer des fractions sur une droite numérique.
En utilisant un jeu d’étiquettes les élèves s’entraînent à placer des fractions sur la droite numérique

Fiche FA 66A associée à la réponse P68-1
 

12) fiche d’activité : Apprentissage d’une suite de nombres écrits sous forme de fractions
Les élèves jouent au jeu du furet et comptent l’un après l’autre de 1/n en 1/n.

Fiche FA 62A associée à la réponse P68-1.
 

13) fiche d’activité : Reconnaître des fractions égales
En utilisant un jeu de dominos les élèves sont amenés à travailler les fractions égales.

Fiche FA 64A associée à la réponse P68-1.
 

14) Fiche d’activité : Apprentissage des écritures équivalentes pour les fractions.
A travers un jeu de mariage les élèves sont amenés à travailler les écritures équivalentes des fractions.

Fiche FA 65A associée à la réponse P68-1
 

ÉVALUATION

Questionnaire

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Il faut travailler les nombres décimaux avant les fractions.

2/ Placer des fractions sur la droite graduée n’est pas au programme du cycle 3.

3/ Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs n’est pas au programme du cours moyen.

4/ L’addition de fractions n’est pas au programme du cours moyen.

5/ Dans une fraction le numérateur est toujours inférieur au dénominateur

6/ A l’école élémentaire seules les fractions inférieurs à 1 sont au programme

7/ La seule utilisation du partage d’une surface en parts égales suffit à comprendre la notion de fractions.

Trois questions pour finir :

8/ Quels sont les pré-requis nécessaires à l’apprentissage des fractions ?

9/ Comment aider les élèves qui ne parviennent pas à décomposer une fraction supérieure à 1 en somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1 ?

10/ Comment utiliser  les affichages sur les fractions et quel rôle leur assigner ?

Éléments de réponse

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Il faut travailler les nombres décimaux avant les fractions.

Faux. Il est préférable de travailler les fractions avant les nombres décimaux, ceux-ci étant ensuite présentés comme un cas particuliers de fractions à savoir une autre écriture des fractions décimales.

2/ Placer des fractions sur la droite graduée n’est pas au programme du cycle 3.

Faux. Ce travail est amorcé en cours moyen, mais sera repris au collège et approfondi. Il permet notamment d’illustrer l’encadrement d’une fraction entre deux nombres entiers consécutifs et de faire utiliser la décomposition d’une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.

3/ Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs est au programme du CM.

Vrai. Cela aide d’ailleurs les élèves à placer plus facilement les fractions sur la droite graduée.

4/ L’addition de fractions n’est pas au programme du cours moyen.

Faux et Vrai. Le travail d’addition des fractions en général n’est pas au programme du CM. Mais l’addition de fractions décimales simples ou de fractions simples de même dénominateur peut être proposé en cours moyen.

5/ Dans une fraction le numérateur est toujours inférieur au dénominateur.

Faux. Cela voudrait dire que la fraction désigne toujours un nombre inférieur à 1. Une fraction pouvant être supérieure ou inférieure à 1, le numérateur de la fraction n’est pas toujours inférieur au dénominateur de cette fraction

6/ A l’école élémentaire seules les fractions inférieurs à 1 sont au programme.

Faux. A l’école élémentaire on présente des fractions supérieures et inférieures à 1.

7/ La seule utilisation du partage d’une surface en parts égales ne suffit pas à comprendre la notion de fractions.

Vrai. Il est nécessaire de présenter des fractions dans d’autres situations que le partage de surface en parts égales. L’utilisation d’autres grandeurs (longueurs, durées…) est nécessaire. Il ne faut pas, dans ce contexte, ne travailler que « l’aspect quantité » de la fraction. Placer une fraction parmi d’autres nombres, avec la relation « supérieur » ou « inférieur », ou bien, voir la fraction comme abscisse d’un point par exemple, permet d’intégrer différents points de vue, qui participent à la construction du concept de la notion de fraction. Cela ne suffira pas. Les opérations avec des fractions comme l’addition, la multiplication, le quotient et leur utilisation dans la résolution de problèmes seront également très importants.

Trois questions pour finir :

8/ Quels sont les pré-requis nécessaires à l’apprentissage des fractions ?

Les élèves doivent maîtriser les tables de multiplication par 2, 3, 5, 10, au minimum. Être capable de trouver des multiples et des diviseurs d’un nombre donné. Connaître et pouvoir utiliser les expressions comme « n fois plus » et « n fois moins »

Pour le partage égalitaire : Faire la différence entre partage égalitaire et non égalitaire. Du point de vue géométrique : les élèves doivent avoir rencontré des partages d’un segment de longueur donnée en plusieurs segments de même longueur. Pour la droite graduée : Savoir ce qu’est une graduation régulière (avec le choix d’une unité) Savoir placer un nombre entier sur une droite graduée.

9/ Comment aider les élèves qui ne parviennent pas à décomposer une fraction supérieure à 1 en somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1 ?

Pour donner du sens aux décompositions additives il est nécessaire d’avoir d’abord travailler la notion de fraction supérieure ou inférieure à 1 ou à n’importe quel entier, et de fraction égale à un entier. De plus il est important que les élèves sachent placer une fraction sur une droite graduée sans difficulté. A partir de ces pré requis, il est possible d’aborder les décompositions des fractions en partie entière et partie fractionnaire.

Plusieurs activités ludiques pourront être mises en place pour favoriser la mémorisation de ces décompositions et de leur principe.

Par exemple on pourra utiliser le jeu du furet dans lequel on fera mettre l’accent sur les différentes lecture des nombres comme qui sera lu etc … On pourra aussi utiliser un jeu de loto ou un jeu de dominos constitué de plusieurs écritures différentes de fractions simples et en particulier des décompositions en partie entière et partie fractionnaire de ces nombres.

Le raisonnement, appuyé sur le langage oral, doit également être sollicité dans des cas simples, en référence à des représentations matérielles : , c’est sept quarts, c’est donc quatre quarts plus trois quarts. Comme quatre quarts, c’est 1, on a  

10/ Comment utiliser  les affichages sur les fractions et quel rôle leur assigner ?

Les affichages peuvent jouer des rôles différents au cours de l’apprentissage en classe. Au début ils peuvent constituer une trace écrite des activités conduites collectivement. Ensuite ils serviront de mémoire pour la classe. Puis enfin, ils seront des supports présents dans la classe pour résoudre des problèmes avant de fournir des images mentales auxquelles les élèves peuvent se référer. Ils pourront être dissimulés à certains moments, en particulier lors des évaluations si nécessaire.

Les affichages suivants sont indispensables :

-La droite numérique avec une graduation tous les demis, une autre tous les tiers, tous les quarts, tous les dixièmes.

-Les différentes familles avec : L’écriture fractionnaire et le nom des familles : demis, quarts, tiers, cinquièmes, dixièmes, centièmes.

-Les représentations avec des bandes, avec des disques (pendules, penser à l’heure), avec des carrés, des rectangles non carrés, en prenant soin de préciser l’unité (ce qui représente 1)

-Des familles de fractions égales à 1, 2, …égales à un demi, un tiers, un quart, un dixième.

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