La notion de prédécesseur et de successeur n’a plus de sens dans l’ensemble des nombres décimaux car entre deux nombres décimaux différents on peut toujours en intercaler un autre, ce qui n’est pas le cas dans l’ensemble des nombres entiers. Tout ceci implique que les connaissances en relation avec l’ordre sur les nombres décimaux ne peuvent se mettre en place que petit à petit, au cours d’activités variées et en insistant sur la rupture avec les nombres entiers.

Mots clés

Comparaison des décimaux, intercalation, encadrement. Placement sur une droite graduée. Arrondi, valeur approchée. 

(Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n°3 du 19 juin 2008)

Séquence 2. Difficultés d’élèves et activités permettant un diagnostic.

1) Article théorique : Comparaison de deux nombres décimaux.
Article de R Charnay

Les difficultés rencontrées peuvent être classées de la façon suivante :

L’exercice 5 propose d’encadrer un nombre à virgule entre deux nombres entiers consécutifs.

L’exercice 22 propose de trouver des nombres décimaux compris entre deux nombres décimaux donnés.

L’exercice 29 demande d’encadrer des nombres décimaux par deux entiers consécutifs.

L’exercice 35 demande de trouver deux nombres décimaux égaux parmi une liste de nombres écrits sous différentes formes.

1) Réponse 1 à la question pédagogique : Quelles activités proposées pour travailler la comparaison des nombres décimaux et comment travailler la compréhension de la représentation des nombres décimaux sur la droite graduée ?
P85-1 : La droite graduée une représentation graphique des nombres, un support pour travailler les propriétés liées à l’ordre des nombres décimaux.

2) Réponse 1 à la question pédagogique : Comment faire comprendre aux élèves qu’on peut toujours trouver un nombre décimal à situer entre deux nombres décimaux quelconques ?
P160-1: Redonner du sens aux chiffres composant la partie décimale et aux différents partages de l’unité.

3) Réponse 1 à la question pédagogique : Comment faire comprendre aux élèves qu’après 0,9 en comptant de 0,1 en 0,1 vient 1 et non pas 0,10 ?
P161-1 : Redonner du sens à chacun des chiffres de la partie décimale en utilisant l’abaque et une calculatrice.

1) fiche d’activité : Comparaison de nombres décimaux.
En utilisant des surfaces les élèves doivent ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant.
Fiche FA141 associée à la réponse P85-1

2) fiche d’activité : Placer des nombres décimaux sur une droite numérique
Avec un jeu d’étiquettes il s’agit de placer des nombres décimaux écrits de différentes façons sur une droite numérique puis d’utiliser une droite graduée pour jouer au loto.
Fiche FA66B associée à la réponse P85-1 

3) fiche d’activité : Nombres décimaux et graduation
Les écritures à virgule de nombres décimaux sont travaillées dans le contexte des graduations qui permet une nouvelle mise en relation avec les décompositions sous forme de sommes de fractions décimales.
Fiche FA142 associée à la réponse P85-1 

4) fiche d’activité :Utiliser des grossissements sur la droite numérique pour faire comprendre l’intercalation.
On propose de représenter successivement les intervalles entre deux nombres en effectuant différents grossissements pour faire comprendre l’intercalation.
Fiche d’activités FA 160 associée à la réponse P160-1 

5) fiche d’activité : Utilisation de l’abaque et de la calculatrice pour redonner du sens aux chiffres de la partie décimale d’un nombre décimal.
L’abaque et la calculatrice permettent de travailler et mémoriser l’algorithme de comptage de 0,1 en 0,1, de 0,01 en 0,01 etc...
Fiche FA 161 associée à la réponse P161-1

6/ Pour travailler l’ordre dans l’ensemble des nombres décimaux, l’utilisation de la droite graduée n’est pas adaptée au cycle 3.

1/ Quels sont les avantages et les inconvénients à enseigner la règle suivante : « pour comparer des nombres décimaux ayant la même partie entière mais n’ayant pas le même nombre de chiffres à leur partie décimale, il suffit d’ajouter des zéros à la droite du nombre afin de ramener les deux parties décimales au même nombre de chiffres. » ?

1/ Pour comparer des nombres décimaux il ne suffit pas de connaître les règles de comparaison sur les nombres entiers.
Vrai. En effet les règles de comparaison sur les nombres entiers peuvent même interférer avec celles valables sur les nombres décimaux. Il faut bien connaître la signification de chacun des chiffres de la partie décimale pour effectuer une comparaison convenable. Il ne faut cependant pas oublier les règles de comparaison qui permettent de comparer les parties entières des nombres décimaux. Cependant, les stratégies de comparaison se rapprochent si on procède à une comparaison chiffre à chiffre en partant des chiffres de plus grande valeur.

2/ Pour comparer des nombres décimaux il est préférable d’utiliser l’écriture sous forme de fractions décimales.
Vrai et faux. L’écriture des décimaux sous forme de somme de la partie entière et de fractions décimales permet de redonner du sens à chacun des chiffres de la partie décimale et donc facilite la comparaison. L’écriture des décimaux sous forme d’une seule fraction décimale permet facilement de comparer des décimaux si les deux fractions ont le même dénominateur. Si ce n’est pas le cas il faut convertir ces deux fractions au même dénominateur ce qui n’est pas toujours chose aisée pour les élèves. En fait si l’écriture à virgule est bien maîtrisée c’est à dire si les élèves connaissent bien la signification de chaque chiffre de la partie décimale alors la comparaison est aussi facile qu’avec l’écriture sous forme de somme de fractions décimales.

3/ Pour commencer l’apprentissage, il vaut mieux donner à comparer des nombres décimaux ayant le même nombres de chiffres à leur partie décimale.
Faux. En effet cela va conforter les élèves dans l’idée fausse qu’un décimal est la juxtaposition de deux entiers indépendants. En effet si les nombres ont le même nombre de chiffres à leur partie décimale il suffit de comparer ces parties décimales comme s’il s’agissait d’entiers et il n’est plus nécessaire de connaître la signification de chacun des chiffres de la partie décimale. Il est donc préférable de tout de suite donner à comparer des nombres n’ayant pas le même nombre de chiffres à leur partie décimale.

4/ Il faut éviter de donner des entiers dans les listes de nombres décimaux à ranger dans l’ordre croissant ou décroissant.
Faux. Au contraire il est recommandé de donner des nombres entiers qui sont des décimaux particuliers à ranger dans une liste de nombres décimaux. Cela va permettre de voir si les élèves ont bien assimilé l’ordre sur les nombres décimaux et s’ils savent que ce n’est pas le nombre de chiffres du nombre décimal qui permet de savoir s’il est supérieur ou inférieur à un autre nombre décimal, mais bien la valeur positionnelle de ces chiffres qui permet de conclure.

5/ La lecture traditionnelle des nombres décimaux à comparer est une aide pour les ranger dans l’ordre croissant ou décroissant.
Faux. La lecture traditionnelle des nombres décimaux tend à faire croire qu’un nombre décimal est la juxtaposition de deux nombres entiers et donc renforce les idées fausses des élèves. En effet quand on veut comparer cinq virgule quatre et cinq virgule dix-huit on entend « quatre » et « dix-huit » et on a envie de dire que 5,4 < 5,18 car 4 est inférieur à 18. La lecture traditionnelle occulte la signification de chacun des chiffres après la virgule. Il vaut mieux utiliser une lecture utilisant les mots dixième, centième etc…

6/ Pour travailler l’ordre dans l’ensemble des nombres décimaux, l’utilisation de la droite graduée n’est pas adaptée au cycle 3.
Faux. Le placement des nombres décimaux sur la droite graduée est au programme du cycle 3 car justement c’est une aide pour comprendre l’ordre sur les nombres décimaux et également l’intercalation toujours possible d’un nombre décimal entre deux nombres décimaux. La droite graduée permet de donner une image mentale de l’ordre sur les nombres décimaux.

7/ Si un élève sait intercaler un ou plusieurs nombres décimaux entre 5,2 et 5,9 puis entre 3,34 et 3,39 on est sur qu’il a compris la notion d’intercalation.
Faux. En effet dans les deux cas cités le fait de considérer les nombres décimaux comme des entiers permet d’intercaler un ou plusieurs nombres décimaux entre les deux nombres donnés. Pour être sur que les élèves ont bien compris la notion d’intercalation il faut leur demander d’intercaler un ou plusieurs nombres entre deux nombres décimaux séparés par une dixième ou par un centième etc… Exemple : intercaler 3 nombres entre 5,2 et 5,3. Intercaler 4 nombres entre 4,56 et 4,57. On peut ensuite même demander d’intercaler 15 nombres entre 1,2 et 1,3 par exemple.

1/ Quels sont les avantages et les inconvénients à enseigner la règle suivante : « pour comparer des nombres décimaux ayant la même partie entière mais n’ayant pas le même nombre de chiffres à leur partie décimale, il suffit d’ajouter des zéros à la droite du nombre afin de ramener les deux parties décimales au même nombre de chiffres. » ?
Cette règle permet en effet de comparer les nombres décimaux sans erreur mais là encore cela conforte les élèves dans le fait de considérer les nombres décimaux comme la juxtaposition de nombres entiers et ne leur permet pas de donner du sens aux chiffres de la partie décimale. Ils ne pourront réussir avec une telle règle les exercices d’intercalation ni les exercices de comptage de 0,1 en 0,1 ou de 0,01 en 0,01 etc… qui ne peuvent être réussis que si l’on a compris la signification de chacun des chiffres de la partie décimale.

2/ Quels sont les dangers à utiliser uniquement des prix pour travailler le rangement des nombres décimaux en général ?
Le fait d’utiliser uniquement des prix pour travailler sur les nombres décimaux en général confrontent les élèves à des nombres décimaux à deux chiffres au maximum après la virgule et donc ne permet pas de généraliser la notion. De plus il est difficile de comprendre qu’on peut toujours intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux car entre deux prix on ne peut pas toujours trouver un nombre décimal exprimant un autre prix puisqu’il n’existe pas d’unité de monnaie en dessous des centimes. Cela va à nouveau conforter les élèves dans l’idée que le rangement des décimaux se fait avec les mêmes règles que pour les nombres entiers. D’autre part, cela revient souvent à comparer des écritures complexes en € et c qui n’utilisent donc que des entiers

3/ Comment aider des élèves qui ne parviennent pas à ranger des nombres décimaux dans l’ordre ? 
L’utilisation de la droite graduée et de différents grossissements des écarts entre deux nombres décimaux va permettre aux élèves de comprendre comment s’organise l’ordre sur les décimaux. L’utilisation du jeu des étiquettes avec la droite graduée sera également d’une grande aide. La manipulation de l’abaque pour redonner du sens aux échanges et permettre de comprendre la numération positionnelle de la partie décimale est également fortement recommandée. De plus la fréquentation régulière des nombres décimaux et leur placement sur la droite graduée permettront aux élèves de s’approprier les règles de rangement des nombres décimaux.