Les techniques opératoires de calcul posé fournissent un outil de calcul qui peut être utilisé dès lors que le calcul ne peut se faire mentalement et qu'une calculatrice n'est pas disponible. Dans ce module, nous nous intéresserons à l’enseignement de la technique opératoire de la multiplication de deux nombres entiers, de la multiplication d’un nombre à virgule par un nombre entier ainsi que de la multiplication de deux nombres à virgule. Nous traiterons également de la technique de la division euclidienne de deux entiers, de la technique de la division décimale de deux entiers ainsi que de la technique de la division d’un nombre à virgule par un entier. Liens avec les autres modules La maîtrise de différentes techniques de calcul posé est directement reliée au sens et aux propriétés de ces opérations et à l’activité de résolution de problèmes pour lesquels deux modules existent dans ce parcours. Il met également en œuvre des connaissances relatives à la numération décimale Mots clés Multiplication, division, nombres entiers, nombres décimaux, approximation, ordre de grandeur, quotient, reste, multiple, diviseur, technique opératoire, validation, vérification.
Ce questionnaire vous permettra de faire un premier point sur les éléments travaillés dans ce module. Noter vos réponses et vérifier les à la fin du parcours. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1/ L’apprentissage de la technique de la multiplication ne nécessite pas d’autres pré-requis que les tables de multiplication. 2/ Il n’existe qu’une technique de calcul posé pour la multiplication. 3/ L’utilisation du calcul approché est une aide pour effectuer les multiplications de deux nombres entiers, ou d’un nombre à virgule par un nombre entier. 4/ L'apprentissage de la technique de la division nécessite la bonne maîtrise des techniques de la multiplication et de la soustraction. 5/ L’utilisation d’un calcul approché est souvent nécessaire pour effectuer la division de deux nombres entiers, ou d’un nombre à virgule par un nombre entier.
- Connaître une technique opératoire de la multiplication et savoir calculer le produit de deux entiers
- Connaître la technique
opératoire de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier (3
chiffres par 2 chiffres) ;
- Calculer le quotient et le
reste de la division euclidienne d’un nombre entier (d’au plus 4 chiffres) par
un nombre entier (d’au plus 2 chiffres), par un calcul posé ; - Connaître la technique de la division décimale de deux entiers et de la division d’un nombre décimal par un nombre entier. (Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n°3 du 19 juin 2008)
L’enseignement du calcul doit associer étroitement la construction du sens des opérations et l’acquisition des diverses techniques opératoires qui se confortent et se renforcent l’une l’autre. Ce travail commencé à l’école se poursuivra au collège. L’enseignement du calcul à l’école élémentaire doit prendre en compte les trois formes usuelles que sont le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté. L’apprentissage du calcul est aussi inséparable de la résolution de problèmes qui offre le moyen d’assurer l’appropriation du sens des opérations. L’apprentissage des techniques opératoires fournit une occasion de renforcer la compréhension de certaines propriétés des nombres et des opérations. (Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, (BO hors-série n°5 du 12 Avril 2007) En Cours élémentaire deuxième année :L’élève doit savoir :
- Effectuer un calcul posé
de la multiplication.
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CONTENUS DE LA FORMATION |
Séquence 1. Quelques repères théoriques
Séquence 2. Difficultés d’élèves et activités permettant un diagnostic.
Séquence 3. Aspects pédagogiques
Séquence 4. Exemples de pratiques
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DEROULEMENT DE LA FORMATION |
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Séquence 1. Quelques repères théoriques |
Pour approfondir ces éléments, il est conseillé de voir :
1) Article théorique :
Multiplication
Article de M-C
Marilier
2) Article théorique :
Division
Article de M-C
Marilier
3) Article théorique :
Propriétés
de la multiplication
Article de
Roland Charnay
4) Article théorique :
Propriétés de la division
Article de
Roland Charnay
5) Article théorique :
Mémorisation
des procédures : algorithmes de calcul, calcul posé
Article de R
Charnay
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Séquence 2. Difficultés d’élèves et activités permettant un diagnostic |
Les élèves éprouvent souvent des difficultés à effectuer les calculs posés de la multiplication et de la division car ces techniques requièrent de nombreuses compétences concernant la numération décimale mais également les autres opérations telles que l’addition et la soustraction. De plus plusieurs de ces opérations doivent être faites mentalement ce qui complique encore les choses.
Les erreurs qui concernent la gestion des retenues dans la technique de la multiplication trouvent leur origine dans le fait que les élèves ne maîtrisent pas le sens de ce qu’ils font et ajoutent souvent la retenue au chiffre des dizaines du nombre à multiplier par exemple.
Exemple :
2
23
X 17
281
230
511
L’élève fait 3 fois 7 font 21, je pose 1 et je retiens 2, puis 2 et 2 font 4 et 4 fois 7 font 28, d’où le résultat 281. Puis il effectue le deuxième produit de 23 par 10 et fait l’addition. Il s’agit d’une erreur relative à la numération de position et à sa signification.
Une autre erreur consiste à ne pas décaler les calculs de la deuxième ligne lors du calcul du deuxième produit.
Exemple :
23
X 17
161
23
184
Cette erreur peut être due à une mauvaise maîtrise de la numération de position, mais plus souvent elle résulte d'une perte de sens dans le calcul : l’élève oublie qu’il multiplie le premier nombre par des dizaines (par 10 dans l'exemple ci-dessus) et non par des unités.
Enfin d’autres erreurs classiques sont liées à la méconnaissance des tables d’addition et de multiplication, ce qui explique environ les deux tiers des résultats erronés.
En ce qui concerne la technique de la division, en plus des
erreurs de calcul dues à une mauvaise gestion de la multiplication et de la
soustraction, une autre erreur classique consiste dans l’oubli d’un zéro au
quotient dans des opérations du type :
Lorsque le premier reste dans le calcul est 0 et que le
chiffre suivant (ici le 9) est trop petit pour pouvoir effectuer la division,
les élèves abaissent le chiffre suivant (ici le 2) et poursuivent la division
sans redonner du sens aux chiffres utilisés. Ici on ne peut pas partager les 9
dizaines du dividende en 23 donc le quotient doit indiquer qu’il y a 0 dizaine.
Les 9 dizaines du dividende sont ensuite converties en unités et on a alors 92
unités à partager en 23 ce qui fait 4 unités au quotient. De plus, une prise en
compte de la signification du chiffre 2 du quotient aurait pu permettre de
comprendre qu’il s’agissait de 2 centaines et non de 2 dizaines puisqu’on venait
de partager 46 centaines en 23. Un travail portant soit sur l’estimation soit
sur le nombre de chiffres du quotient peut permettre d’éviter ce genre d’erreur.
En effet si on effectue mentalement la division de 4600 par 20 on constate que
le quotient est de 230 et non de 23. De même, si on considère qu'il faut
commencer par diviser 46 centaines par 23, on sait que le chiffre 2 est
celui des centaines et que deux autres chiffres sont donc attendus au quotient.
Il est donc indispensable de s’assurer de la maîtrise de l’addition et de la soustraction ainsi que de la maîtrise de la numération de position et des tables de multiplication avant de commencer un quelconque apprentissage des techniques opératoires de la multiplication et de la division.
Vous trouverez dans le cahier d’évaluation CM2 2009, des exercices sur ces différentes notions.
http://media.education.gouv.fr/file/evaluations/94/7/Cahier-eleve_46947.pdf
L’exercice 8 : propose d’exprimer un nombre sous forme de produit dont l’un des facteurs et un nombre donné.
L’exercice 10 : propose de poser des multiplications et des divisions de nombres entiers et à virgule.
Vous trouverez dans les cahiers d’évaluation de 6ème des exercices en rapport avec ces deux opérations.
http://evace26.education.gouv.fr/6m-cahiereleve.pdf
L’exercice 8 : propose des multiplication de nombres entiers.
L’exercice 9 : propose des multiplication d’un entier par un nombre à virgule.
L’exercice 19 : propose de travailler sur les double, triple, moitié quart etc…
L’exercice 23 : propose de poser des divisions de deux nombres entiers.
L’exercice 30 : propose des multiplications par 10 et 100.
L’exercice 31 : propose des divisions par 10 et 100.
Vous trouverez également dans la banque d’outils à l’évaluation pour le collège des exercices adaptés.
http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MIGRT06.pdf
Le premier exercice propose de trouver un résultat approché d’un calcul multiplicatif.
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Séquence 3. Aspects pédagogiques |
La réponse aux questions ci-dessous vous éclairera sur les enjeux d’un travail sur les techniques de la multiplication et de la division
1) Réponse 1 à la question pédagogique :
Quelle progression mettre en place en CE1 puis en CE2 pour aborder la
multiplication ?
P154-1 : Choisir
une situation valable quel que soit l’ensemble de nombres étudiés et permettant
de faire comprendre facilement les propriétés de la multiplication et son
utilisation.
2) Réponse 1 à la question pédagogique :
Comment puis-je aider mes élèves à mémoriser les tables de multiplications de 4,
6, 7, 8 et 9 ?
P155-1 : S’appuyer
sur les résultats connus et utiliser les propriétés de la multiplication pour
les tables de 4, 6, 7 et 8 et une propriété spécifique de la table de 9.
3) Réponse 1 à la question pédagogique :
Pourquoi certains élèves rencontrent-ils des difficultés pour associer addition
réitérée et produit équivalent ? Quelles activités leur proposer pour les aider
dans cet apprentissage ?
P156-1:
Veiller à bien
formuler la consigne.
4) Réponse 1 à la question pédagogique :
Mes élèves ont des difficultés à comprendre la technique de la multiplication ;
comment puis-je les aider ?
P158-1 :
Revenir à la technique grecque qui utilise le découpage d’un rectangle puis
faire le lien avec la disposition verticale de l’opération.
5) Réponse 1 à la question pédagogique :
Mes élèves ont des difficultés à comprendre la technique de la multiplication ;
comment puis-je les aider ?
P158-2 :
En CM2 et en 6°, la
méthode « per gelosia » peut réconcilier les élèves avec la technique de la
multiplication.
6) Réponse 2 à la question pédagogique :
Quelle progression mettre en place en cycle 3 pour aborder la division ?
P157-1 : Bien asseoir les acquis de la multiplication et le calcul mental
avant d’aborder la technique de la division.
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Séquence 4. Exemples de pratiques |
Afin de vous aider à mettre en œuvre en classe des activités visant les techniques de la multiplication et de la division nous vous proposons ci-après un ensemble de fiches d’activités.
1) fiche d’activité :
Une progression pour la
multiplication.
En partant de l’utilisation de quadrillage une
progression sur la multiplication est proposée.
Fiche FA154 associée à la réponse P154-1
2)
fiche d’activité :
Mémoriser les tables de
multiplication avec des dominos pour multiplier
La fiche propose la fabrication et l’utilisation d’un jeu
de dominos pour mémoriser les tables de multiplication.
Fiche FA155 associée à la réponse P155-1
3) fiche d’activité :
Jeu « le nombre caché » ou
comment travailler les équivalences d’écritures somme produit
La fiche
propose la fabrication et l’utilisation d’un jeu spécialement conçu pour
travailler les équivalences d’écritures somme, produit.
Fiche FA156 associée à la réponse P156-1
4)
fiche d’activité :
Utiliser les réglettes de
Neper pour aborder la technique de multiplication arabe « per gelosia » pour
éviter le décalage.
A partir des réglettes de Neper on fait découvrir aux
élèves le fonctionnement de la méthode arabe.
Fiche FA164 associée à la réponse P158-1
5) fiche d’activité : Une progression possible pour travailler la
division au cycle 3.
Fiche FA157 associée à la réponse P157-1
6) Fiche d’activité :
Un matériel pour faire comprendre l’algorithme simplifié de la division.
A partir de d’un abaque Montessori on se propose de faire
comprendre l’algorithme de la multiplication en le manipulant.
Fiche FA158 associée à la réponse P157-1
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Questionnaire |
Ce questionnaire vous permettra d’évaluer l’acquisition des différentes connaissances travaillées au travers de ce module.
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1/ L’apprentissage de la technique de la multiplication ne nécessite pas d’autres pré-requis que les tables de multiplication.
2/ Il n’existe qu’une technique de calcul posé pour la multiplication.
3/ L’utilisation du calcul approché est une aide pour effectuer les multiplications de deux nombres entiers, ou d’un nombre à virgule par un nombre entier.
4/ L'apprentissage de la technique de la division nécessite la bonne maîtrise des techniques de la multiplication et de la soustraction.
5/ L’utilisation d’un calcul approché est souvent nécessaire pour effectuer la division de deux nombres entiers, ou d’un nombre à virgule par un nombre entier.
6/ Il n’existe qu’une seule technique de calcul posé pour la division.
7/ La bonne maîtrise des principes de la numération positionnelle n’est pas indispensable à l’apprentissage des techniques opératoires de la multiplication et de la division.
Trois questions pour finir :
1/ Quelles aides peut apporter l’utilisation du Matériel Montessori de la division dans l’acquisition de la technique opératoire ?
2/ A quel moment faut-il commencer l’apprentissage de la technique opératoire de la multiplication?
3/ Pourquoi est-il prématuré de commencer l’apprentissage de la technique opératoire de la division en CE1 ?
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Éléments de réponse |
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1/ L’apprentissage de la technique de la multiplication ne nécessite pas
d’autres pré-requis que les tables de multiplication.
Faux. La technique de la multiplication
nécessite de nombreux pré-requis concernant la numération de position et
également la maitrise de l’addition et des tables d’addition. La connaissance de
la signification des chiffres de l'écriture d’un nombre est indispensable à la
bonne maîtrise de la technique opératoire et en particulier à la gestion des
retenues et du décalage.
2/ Il n’existe qu’une technique de calcul posé pour la multiplication.
Faux. En France nous utilisons une technique
qui repose sur la décomposition canonique du multiplicateur (23 = 20 + 3), mais
il existe d’autres façons de poser la multiplication. La technique arabe en est
une illustration.
3/ L’utilisation du calcul approché est une aide pour effectuer les
multiplications de deux nombres entiers, ou d’un nombre à virgule par un nombre
entier.
Vrai. L’utilisation du calcul approché permet
de repérer d'éventuelles erreurs (notamment, erreurs de décalage) et surtout
dans le cas de nombre à virgule, il permet de vérifier que la virgule du
résultat est convenablement placée.
4/ L'apprentissage de la technique de la division nécessite la bonne
maîtrise des techniques de la multiplication et de la soustraction.
Vrai. Il est indispensable de bien maîtriser
ces deux opérations qui interviennent dans l’algorithme de la division. Il est
d'ailleurs préférable de poser effectivement les soustractions et même, en
annexe, certaines multiplications de façon à alléger la charge de travail de
l'élève. Pour les élèves les plus à l'aise, il est possible de les amener à ne
pas faire figurer ces deux opérations. Dans tous les cas, une bonne maîtrise du
calcul mental est indispensable.
5/ L’utilisation d’un calcul approché est souvent nécessaire pour
effectuer la division de deux nombres entiers, ou d’un nombre à virgule par un
nombre entier.
Vrai et Faux. Comme pour la multiplication
l’utilisation du calcul approché facilite la vérification du résultat mais ce
n’est pas indispensable et de plus cela demande une maîtrise du calcul mental
qui n’est pas toujours effective en cycle 3. Mais c’est souvent vrai pour la
division, car par exemple dans le calcul de 2 456 divisé par 38, pour trouver le
chiffre des dizaines du quotient il faut faire une estimation, par exemple avec
240 divisé par 40. Il est de plus nécessaire que les élèves puissent trouver
rapidement quel sera le nombre de chiffres du quotient afin, en particulier, de
ne pas oublier les zéros intercalaires.
6/
Il n’existe qu’une seule
technique de la division posée.
Faux. Comme pour la multiplication il
n’existe pas qu’une seule technique de la division. Les anglo-saxons ne posent
pas la division comme nous mais cependant leur technique repose sur les mêmes
principes que la nôtre.
7/ La
bonne maîtrise des principes de la numération positionnelle n’est pas
indispensable à l’apprentissage des techniques opératoires de la multiplication
et de la division.
Faux. La
connaissance de la signification des chiffres d’un nombre est indispensable à la
compréhension de ces deux techniques opératoires et donc à leur mémorisation à
long terme. On peut apprendre un algorithme qu’on ne comprend pas mais il sera
très difficile de le mémoriser si sa justification n’est pas comprise.
Trois questions pour finir :
1/ Quelles aides peut apporter l’utilisation du Matériel Montessori de la
division dans l’acquisition de la technique opératoire ?
L’abaque Montessori permet de redonner du
sens à chacune des étapes de l’algorithme de la division et en particulier au
fait « d’abaisser un chiffre ». On visualise bien, avec cet outil, les échanges
et les partages et l’on sait, à chaque étape, si l’on partage des centaines, des
dizaines ou des unités. D'autres matériels "de numération" peuvent être
utilisés.
2/ A quel moment faut-il commencer l’apprentissage de la technique
opératoire de la multiplication?
L’apprentissage de la technique de la
multiplication peut être entrepris dès le CE1, par exemple en s'appuyant sur le
découpage d’un rectangle comme cela a été présenté dans la fiche d’activité
FA154 ou en faisant un lien avec l'addition itérée (47 x 5 peut être remplacé
par 47 + 47 + 47 + 47 + 47 dont le calcul revient additionner 5 fois 7 unités
(résultat multiplicatif connu), puis 5 fois 4 dizaines (résultat multiplicatif
également connu auquel il faut ajouter les 3 dizaines de retenue). La technique
habituelle ne sera véritablement stabilisée qu'au CE2.
3/ Pourquoi est-il prématuré de commencer l’apprentissage de la technique
opératoire de la division en CE1 ?
Comme on l’a vu précédemment, la technique de
la division requiert la bonne maîtrise des techniques de la soustraction et de
la multiplication, or ces techniques commencent à être mises en place en CE1,
il serait donc vraiment prématuré de faire apprendre simultanément la technique
de la division. Cela n’empêche pas de proposer aux élèves des situations
relevant de la division dans des cas où les nombres en jeu permettent de
résoudre le problème en tâtonnant et en utilisant l’addition réitérée, la
soustraction réitérée ou les premiers résultats multiplicatifs connus.