Au cycle 2 et 3, les élèves mettent en place une première maîtrise de la symétrie. Ils passent peu à peu d’une reconnaissance perceptive de la symétrie axiale ou centrale à une utilisation de pliages, de miroir puis d’outils tels que règle, équerre, compas pour vérifier que deux figures sont symétriques ou ont un axe de symétrie et pour finalement tracer la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe quelconque ou pour tracer la moitié symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe. L’étude systématique de la symétrie axiale relève de la sixième.

Mots clés

Axe de symétrie, figure symétrique, centre de symétrie, figure superposable, pliage, miroir, géomiroir.

Ce questionnaire vous permettra de faire un premier point sur les éléments travaillés dans ce module. Noter vos réponses et vérifier les à la fin du parcours.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Si deux figures sont superposables on peut dire que ces figures sont symétriques l’une de l’autre par rapport à un axe.

2/ Un parallélogramme a deux axes de symétrie.

3/ A l’école élémentaire il ne suffit pas de travailler la symétrie axiale en utilisant des axes parallèles aux bords de la feuille.

4/ Un rectangle a 4 axes de symétrie.

5/ Faire colorier symétriquement deux parties d’une figure ayant un axe de symétrie permet de savoir si les élèves de cycle 1 et 2 ont compris ce qu’est la symétrie axiale.

L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.
L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.
Vocabulaire spécifique relatif aux figures : axe de symétrie,
(Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n°3 du 19 juin 2008)

En Cours élémentaire deuxième année les élèves doivent reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque.
- Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée.
Remarque : Sur papier quadrillé, on se limite à l’utilisation d’axes de symétrie qui suivent les lignes du quadrillage ou qui sont des diagonales de ce quadrillage. Les élèves sont confrontés à quelques cas où l’axe de symétrie coupe la figure.

En cours moyen 1 les élèves doivent en plus :
Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : segment, milieu, axe de symétrie,
- Compléter une figure par symétrie axiale.
Ces notions seront reprises en cours moyen deuxième année

(Horaires et programmes de l’enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n°3 du 19 juin 2008) 

On peut ajouter que 
Au cycle 3, il s’agit de fournir l’occasion aux élèves d’étendre leur champ d’expériences sur cette transformation et de mettre en oeuvre quelques-uns unes de ses propriétés. Les activités conduites peuvent prendre appui sur l’analyse ou la réalisation d’assemblages, de frises, de pavages, de puzzles, en utilisant différentes techniques : pliage, calque, miroir, gabarits. Ces activités sont l’occasion de mettre en évidence des phénomènes de déplacement, avec ou sans retournement, et ainsi de rencontrer d’autres transformations. L’utilisation de l’ordinateur (logiciels de dessin, imagiciels) permet d’enrichir le champ d’expériences des élèves. Des activités de tracé à main levée de figures symétriques d’une figure donnée sont également proposées. La construction du symétrique d’un point avec règle et équerre relève du collège.
Remarques extraite des documents d’accompagnement des programmes de mathématiques du cycle 3. 2002

Séquence 1. Quelques repères théoriques
Séquence 2. Difficultés d’élèves et activités permettant un diagnostic.
Séquence 3. Aspects pédagogiques
Séquence 4. Exemples de pratiques

Pour approfondir ces éléments, il est conseillé de voir :

1) Article théorique : Symétrie plane
Article de F Cerquetti-Aberkane et MC Marilier 

2)Article théorique : Figures superposables avec ou sans retournement
Article de F Cerquetti-Aberkane et MC Marilier 

3) Article théorique : instruments de tracés
Article de F Cerquetti-Aberkane et MC Marilier 

Les difficultés rencontrées peuvent être classées de la façon suivante :

Soit à tracer la figure symétrique de la figure E

- Les élèves confondent souvent des figures symétriques l’une de l’autre avec des figures translatées. Ils ne pensent pas à retourner la figure image par rapport à la figure de départ.

- La position de la figure symétrique par rapport à l’axe ne respecte pas les conditions d’orthogonalité et/ou de la distance à l’axe.

Les élèves de cycle 3 réalisent des tracés de figures symétriques, quelle que soit la direction de l’axe, comme s’il s’agissait d’un axe vertical ou horizontal ne prenant pas en compte le fait que les lignes de tracé doivent être perpendiculaires à l’axe de symétrie.

-Les élèves pensent à retourner la figure image mais ne respecte pas le fait que les distances à l’axe de la figure de départ et de la figure image doivent être les mêmes.

Ils ont souvent des difficultés à manipuler un papier calque pour faire des tracés : ils peuvent penser à retourner le papier en oubliant par exemple de prendre un repère sur l’axe et de reporter ce repère sur le calque.

Erreur 4

-Ils ne parviennent pas toujours à effectuer convenablement les pliages : ils plient le papier bord à bord au lieu de plier suivant l’axe puis tracent une figure symétrique du modèle par rapport au pli et non à l’axe de symétrie.

Vous trouverez également sur le site « Banque d’outils d’aide à l’évaluation diagnostique » des activités pour aider chacun de vos élèves.
http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E3MRXRT01.pdf
Tracer à main levée des symétriques de figures par une symétrie d'axe horizontal sur un support non quadrillé (version 1)

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E3MRXRT02.pdf
Tracer à main levée des symétriques de figures par une symétrie d'axe oblique sur un support non quadrillé (version 2)

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E3MRXRT03.pdf
Tracer à main levée les figures symétriques d'une figure complexe à main levée (maison) par rapport à deux axes perpendiculaires

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E3MRXRT04.pdf
Construire à main levée des symétriques de figures complexes 

La réponse aux questions ci-dessous vous éclairera sur les enjeux d’un travail sur la symétrie orthogonale.

1) Réponse 1 à la question pédagogique : Comment travailler la symétrie orthogonale en cycles 1 et 2 ?
P116-1 : Un matériel et des activités adaptés pour apprendre quelques propriétés de la symétrie

2) Réponse 1 à la question pédagogique : Comment travailler la symétrie orthogonale en cycle 3 et quelles sont les propriétés de la symétrie axiale à connaître en cycle 3 ?
P117-1 : Expérimenter avec des activités adaptées pour apprendre quelques propriétés de la symétrie.

3) Réponse 1 à la question pédagogique : Est-il utile de présenter d’autres transformations géométriques que la symétrie orthogonale à l’école élémentaire ?
P130-1 : Des contre-exemples utiles à la compréhension de la symétrie axiale et de l’agrandissement et la réduction.

4) Réponse 1 à la question pédagogique : Quelles sont les difficultés des élèves concernant l’apprentissage de la symétrie et quels sont les moyens d’y remédier ?
P131-1 : Des difficultés qu’il convient de ne pas négliger afin de préparer les élèves au collège.

Afin de vous aider à mettre en œuvre en classe des activités visant l’apprentissage de la symétrie nous vous proposons ci-après un ensemble d’extraits de séances filmées en classe pouvant constituer des pratiques de référence. Les courts extraits des vidéos ci-dessous montrent comment l’enseignant construit la notion de symétrie

1) Clip : début de l’activité.
Les élèves cherchent parmi les feuilles contenues dans une enveloppe, celles qui contiennent de figures qui se recouvrent exactement par pliage.
Vidéo CE1 : Tri de figures symétriques ou non symétriques (Séance 1 clip 1)

2) Clip : Synthèse : deuxième cas
Les figures ne sont pas symétriques car il s’agit d’une rotation. Les deux figures sont bien identiques mais ne se superposent pas avec un simple pliage ou avec un double pliage suivant des axes orthogonaux.
Vidéo CE1 : Tri de figures symétriques ou non symétriques (Séance 1 clip 5)

3) Clip : Synthèse : cinquième cas
Les figures sont symétriques par rapport à un point. L’élève réalise alors la superposition par un double pliage suivant des plis perpendiculaires.
Vidéo CE1 : Tri de figures symétriques ou non symétriques (Séance 1 clip 7)

4) Clip : Synthèse : sixième cas
Les figures ne sont pas superposables car il s’agit d’un rectangle et d’un carré. L’élève essaie tout de même de plier mais les deux figures ne se superposent pas car elles n’ont pas la même forme.
Vidéo CE1 : Tri de figures symétriques ou non symétriques (Séance 1 clip 8)

5) Clip : Premiers tracés
Un élève commence à tracer la figure symétrique en pliant sur l’axe donné. Une autre trace la figure sans plier, au jugé. Deux élèves ont plié la feuille bord à bord et la figure symétrique est tracée par rapport au pli et non pas par rapport à l’axe de symétrie proposé.
Vidéo CE1 :Construction de la figure symétrique d’une figure donnée, par rapport à un axe, avec un pliage ou un géomiroir (Séance 2 clip 4)

6)Clip : Utilisation du géomiroir pour voir et tracer la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe
Les élèves ont des difficultés à dessiner la figure avec le géomiroir car il faut à la fois regarder la figure symétrique au travers du géomiroir et les mains qui tracent.
Vidéo CE1 :Construction de la figure symétrique d’une figure donnée, par rapport à un axe, avec un pliage ou un géomiroir (Séance 2 clip 6)

Les fiches d’activités ci-dessous vous permettront de diversifier les approches de la notion étudiée, de varier les outils, tous n’ayant pas le même apport :

1) fiche d’activité : Progression sur la symétrie orthogonale en cycle 2.
La fiche propose 6 étapes pour atteindre les objectifs concernant l’apprentissage de la symétrie orthogonale au cycle 2 à savoir passer de la simple observation au tracé de figures symétriques par rapport à un axe vertical ou horizontal en utilisant un quadrillage.
Fiche FA 114 associée à la réponse P130-1

2) fiche d’activité : Progression sur la symétrie orthogonale au cycle 3.
La fiche propose 5 étapes pour atteindre les objectifs concernant l’apprentissage de la symétrie orthogonale au cycle 3.
Fiche FA 115 associée à la réponse P117-1

3) fiche d’activité : La symétrie orthogonale, utilisation d’un miroir et/ou d’un géomiroir (1) en cycle 2 ou en cycle 3.
L’activité consiste à familiariser les élèves avec la notion de figure symétrique d’une autre figure en utilisant un miroir et/ou un géomiroir, afin d’observer le retournement d’une figure obtenue par symétrie.
Fiche FA107 associée à la réponse P117-1

4) fiche d’activité : La symétrie orthogonale du cours moyen vers la 6.
Cette fiche propose une progression reprenant ce qui a été fait en cycle 3 pour aboutir aux constructions à la règle et au compas de figures symétriques par rapport à un axe qui sont au programme du collège.
Fiche FA 111 associée à la réponse P117-1

5) Fiche d’activité : Tri de figures symétriques en cycle 2 ou 3.
Cette activité de tri permet aux élèves de faire la différence entre figures symétriques par rapport à un axe et figures non symétriques.
Fiche FA108 associée à la réponse P117-1

6) Fiche d’activité : Classement de figures à l’aide de la symétrie orthogonale en cycle 2 ou 3.
Cette fiche propose de classer des figures ayant un ou plusieurs axes de symétrie en utilisant un pliage, un miroir ou un géomiroir.
Fiche FA 110 associée à la réponse P117-1

7) Fiche d’activité : Produire une figure symétrique d’une autre figure par rapport à un axe à l’aide du pliage et/ou du géomiroir (1) en cycle 2 ou cycle 3
Cette fiche d’activité propose différentes façons et différents supports pour obtenir la figure symétrique par rapport à un axe, d’une figure donnée.
Fiche FA109 associée à la réponse P117-1

8) Fiche d’activité : Symétrie et quadrillage en cycle 3.
Différentes activités de tracés de figures symétriques sur quadrillage à mailles carrées et différents jeux sont proposés. Les axes de symétrie sont soit parallèles aux bords de la feuille mais également oblique en passant par les diagonales des carreaux.
Fiche FA 112 associée à la réponse P117-1

9) Fiche d’activité : Utiliser un quadrillage pour tracer le symétrique d’une figure ou pour compléter une figure par symétrie orthogonale.
Dans cette fiche les tracés sont d’abord faits à main levée puis en utilisant le quadrillage, la validation pouvant se faire avec un miroir ou un géomiroir.
Fiche FA 113 associée à la réponse P130-1

Ce questionnaire vous permettra d’évaluer l’acquisition des différentes connaissances travaillées au travers de ce module.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Si deux figures sont superposables on peut dire que ces figures sont symétriques l’une de l’autre par rapport à un axe.
2/ Un parallélogramme a deux axes de symétrie.
3/ A l’école élémentaire il ne suffit pas de travailler la symétrie axiale en utilisant des axes parallèles aux bords de la feuille.
4/ Un rectangle a 4 axes de symétrie.
5/ Faire colorier symétriquement deux parties d’une figure ayant un axe de symétrie permet de savoir si les élèves de cycle 1 et 2 ont compris ce qu’est la symétrie axiale.
6/ L’utilisation du pliage pour tracer la figure symétrique d’une figure donnée n’est pas nécessaire en cycle 3.
7/ Présenter aux élèves d’autres transformations géométriques que la symétrie axiale permet de mieux comprendre ce qu’est la symétrie axiale.

Trois questions pour finir :

1/ Quels sont les prérequis nécessaires au travail sur la symétrie axiale en cycle 3 et au collège ?
2/ Quels sont les avantages et les inconvénients d’utiliser un géomiroir pour tracer la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe. ?
3/ Faut-il faire tracer aux élèves de fin de cycle 3 la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe en utilisant les instruments de la géométrie : règle, équerre, compas ?

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1/ Si deux figures sont superposables on peut dire que ces figures sont symétriques l’une de l’autre par rapport à un axe.
Faux. Deux figures symétriques sont superposables par pliage le long de l’axe de symétrie. Si deux figures sont superposables par glissement ou retournement, ce ne sont pas forcément deux figures symétriques. C’est justement le cas des deux moitiés d’un parallélogramme obtenues en partageant le parallélogramme par l’une des diagonales par exemple. Les deux moitiés obtenues sont bien superposables mais pas par pliage le long de la diagonale. Donc la diagonale n’est pas axe de symétrie de la figure

2/ Un parallélogramme a deux axes de symétrie.
Faux. Un parallélogramme n’a aucun axe de symétrie. En effet comme on l’a vu à la question précédente les diagonales ne sont pas des axes de symétrie bien qu’elles partagent la figure en deux parties superposables mais pas par pliage. Il en est de même des droites parallèles aux côtés qui partagent le parallélogramme en deux parties superposables mais pas par pliage.

Les deux morceaux obtenus sont superposables par glissement.
Le parallélogramme à un centre de symétrie qui est le point de concours des diagonales de la figure. Donc par double pliage le long de deux axes perpendiculaires passant par ce centre de symétrie, les morceaux de la figure se recouvrent exactement.

3/ A l’école élémentaire il ne suffit pas de travailler la symétrie axiale en utilisant des axes de symétrie parallèles aux bords de la feuille.
Vrai. En effet le fait de ne travailler la symétrie qu’en utilisant des axes parallèles aux bords de la feuille tend à cacher les propriétés de la symétrie axiale. Les élèves peuvent croire que pour trouver le symétrique d’un point par rapport à un axe il suffit de tracer une droite verticale ou horizontale à partir de ce point et de reporter une longueur égale de l’autre côté de l’axe sans prendre en compte le fait que cette droite doit être perpendiculaire à l’axe. Cela peut donner des constructions fausses du genre de celle de l’erreur 2 présentée plus haut. 

4/ Un rectangle a 4 axes de symétrie.
Faux. Le rectangle n’a que deux axes de symétrie à savoir les deux médiatrices des côtés du rectangle.

Les deux diagonales, comme pour le parallélogramme, donnent bien deux figures superposables mais pas par pliage. Ce ne sont donc pas des axes de symétrie de la figure.

5/ Faire colorier symétriquement deux parties d’une figure ayant un axe de symétrie permet de savoir si les élèves de cycle 1 et 2 ont compris ce qu’est la symétrie axiale.
Faux. Le simple coloriage ne permet pas de savoir si les élèves, même en cycle 1 et 2, ont compris que deux figures symétriques se recouvrent exactement point par point par pliage le long de l’axe. De plus deux figures peuvent ne pas être coloriées de la même façon et cependant être symétriques par rapport à un axe si elles se recouvrent par pliage le long de l’axe. La couleur n’est pas un élément à prendre en compte pour vérifier des propriétés géométriques.

6/ L’utilisation du pliage pour tracer la figure symétrique d’une figure donnée n’est pas nécessaire en cycle 3.
Vrai et faux. En cycle 3 on peut attendre des élèves qu’ils utilisent une autre méthode que le pliage pour tracer la figure symétrique par rapport à un axe d’une figure donnée. Par exemple ils peuvent utiliser le papier calque ou les instruments de géométrie tels que règle, équerre, et compas. Cependant le pliage peut être d’une grande aide pour certains élèves qui ne se représentent pas la figure symétrique ou pour vérifier si le tracé est correct. L’objectif du pliage en cycle1 et 2 est de créer une image mentale qui permet aux élèves de « voir » où se situe la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe et de « voir » sa forme, donc le pliage a encore toute sa raison d’être en cycle 3 si l’image mentale n’est pas encore correcte.

7/ Présenter aux élèves d’autres transformations géométriques que la symétrie axiale permet de mieux comprendre ce qu’est la symétrie axiale.
Vrai. En effet pour savoir ce qu’est la symétrie axiale, il est nécessaire de savoir ce qu’elle n’est pas et donc d’avoir été confronté à des transformations qui font penser à la symétrie mais qui n’en sont pas, par exemple la translation ou la rotation, en particulier en mettant en évidence l’existence ou non du retournement des figures. Il est également nécessaire de pouvoir faire la différence entre des transformations qui modifient la taille de la figure telles que les agrandissements et réductions ou la forme de la figure telles que les déformations.

Trois questions pour finir :

1/ Quels sont les prérequis nécessaires au travail sur la symétrie axiale en cycle 3 et au collège ?
Il est nécessaire que les élèves aient travaillé avec le pliage et aient utilisé au moins un miroir, voire, un géomiroir afin qu’ils aient une bonne représentation de ce qu’est la symétrie axiale. Si l’on s’engage trop rapidement dans un travail sur les tracés sans ces prérequis les élèves risquent de produire des figures erronées et en plus, de ne pas comprendre leurs erreurs. Il faut aussi que les élèves soient capables de reconnaître si des figures sont superposables, qu’ils aient des notions concernant la perpendicularité, en particulier qu’ils sachent reconnaître que deux droites sont perpendiculaires (quelle que soit leur orientation sur la feuille) et qu’ils soient capables de tracer une droite perpendiculaire à une autre quelle que soit sa direction.

2/ Quels sont les avantages et les inconvénients d’utiliser un géomiroir pour tracer la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe ?
Lorsque l’on utilise un géomiroir pour travailler la symétrie cela permet de voir la figure symétrique d’une figure donnée dès lors qu’on le place sur l’axe de symétrie. De plus cet objet étant transparent il permet également de voir au travers la main qui trace. Mais l’utilisation de la règle pour faire les tracés est assez compliquée et nécessite souvent des contorsions de la part de l’élève. Cet inconvénient peut d’ailleurs devenir un avantage car cela oblige les élèves à chercher comment procéder autrement et donc à trouver qu’il suffit de repérer quelques points de la figure image avec le géomiroir puis d’enlever le géomiroir et de tracer la figure en joignant convenablement à la règle, les points repérés.

3/ Faut-il faire tracer aux élèves de fin de cycle 3 la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe en utilisant les instruments de la géométrie : règle, équerre, compas ?
Bien que ce type de tracés ne soient pas au programme de fin de cycle 3 il peut être tout à fait utile d’entreprendre un tel travail avec les élèves car il permet d’affiner la compréhension des propriétés de deux figures symétriques par rapport à un axe. On s’appuiera alors sur l’utilisation du miroir et du géomiroir pour les vérifications et/ou sur le pliage. L’acquisition d’une telle technique se fait petit à petit et donc sera poursuivie au collège.

Deux types de procédures peuvent être utilisées :

-          celles qui s’appuient sur le fait que le symétrique d’un point A par rapport à un axe (S) se trouve sur la perpendiculaire à (S) passant par A et à la même distance de l’axe que A ;

-          celles qui s’appuient sur le fait que la symétrie conserve les longueurs, les milieux, les angles (en particulier les angles droits), ce qui permet de compléter la figure symétrique d’une figure donnée sans avoir recours à la première procédure.