Question pédagogique :
Est-il possible d'aider les élèves à résoudre un problème ?

Ne pas installer des réflexes mais privilégier le sens du problème.
 

Nous proposons ici quelques pistes de travail pour aider les élèves à résoudre des problèmes (1) mais il en existe d’autres et on pourra pour cela consulter le livre « Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes », d’Alain Descaves, Hachette 1992.
D’abord précisons ce qu’est un problème. D’après Guy Brousseau « il y a problèmes lorsqu’on peut apporter des réponses par des raisonnements. Il faut qu’il y ait quelque chose à chercher et qu’il ne soit pas possible d’utiliser la mémoire seule. » Dans le même sens, Jean Brun précise dans la revue suisse Math Ecole (n°141 ; 1999) que « Dans une perspective psychologique, un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur développement intellectuel par exemple. »
Il ne faut donc pas confondre problèmes et exercices d’application. Les exercices d’application sont nécessaires à l’entrainement des élèves mais ne peuvent pas constituer, à eux seuls, le travail sur la résolution de problèmes. D’ailleurs lors des exercices d’application l’élève est le plus souvent amené à utiliser la dernière opération apprise et donc à ne pas toujours réfléchir au sens de ce qui lui est demandé.
Certains élèves ont de grandes difficultés à résoudre un problème de mathématiques car ils croient, en s'appuyant sur une règle implicite du contrat didactique, qu'il s'agit de découvrir la bonne opération à faire en combinant tous les nombres du texte. La vraisemblance du résultat n’a pas d’importance pour eux ou bien il considère qu'il ne leur appartient pas de s'en assurer. Ils ne font pas le lien entre le texte de problème et la situation réelle afférente, quand elle existe.

Quelques pistes pour aider les élèves à résoudre des problèmes.

Mettre en évidence la représentation qu’ont les élèves de ce qu’est un problème.
Pour cela commencer par leur demander d’inventer un problème. Il n’est pas rare que les élèves proposent des textes contenant des nombres mais pas de question s’y rapportant, parfois même des questions pour lesquelles la réponse se trouve dans le texte ou encore pour lesquelles les données du texte ne permettent pas de répondre. La mise en commun de ces productions permet une discussion collective et fait préciser ce qu’est un problème : des informations sont données relatives à une situation à partir desquelles on peut déterminer de nouvelles informations en réponse à une ou plusieurs questions. En partant des textes proposés par les élèves on peut les corriger pour les transformer en problème de mathématiques.
A partir de cela on peut proposer des textes de problème sans question et les faire trouver aux élèves ou encore leur donner des questions sans problèmes et leur faire inventer un texte de problème adapté, permettant d’y répondre.

Etablir un lien entre une situation réelle et le texte de problème qui lui correspond.
Dès le début de l’activité « résolution de problèmes » et ce quel que soit le niveau de classe, il est important de partir d’une situation réelle vécue par tous. Par exemple en CE2, à l’occasion d’un anniversaire ou autre, on pourra proposer de partager en parts égales ou pas, un paquet de biscuits ou d’autre chose. Ils seront effectivement partagés et mangés par les élèves. Parallèlement faire rédiger le texte de problème que l’on s’est posé et la ou les solutions qui ont permis de le résoudre. On peut refaire cette activité une ou deux fois si nécessaire pour s’assurer que les élèves ont bien fait le lien entre l’activité réelle et le texte de problème correspondant.

Etablir un lien entre un texte de problème et la situation réelle qui lui correspond.
Partir d’un problème assez simple et proposer une simulation du problème avec du matériel de substitution apporté par le maître, dans un premier temps. Exemple en CE2 : On veut mettre 78 œufs dans des boites de 6 œufs. Combien remplira-t-on de boites ?
Le matériel de substitution peut être un ensemble de 78 cubes ou jetons, une boite de 6 œufs et des feuilles de papier sur lesquelles sont dessinées 6 cases. Demander aux élèves les plus en difficultés de venir à la table de simulation pour réaliser l’activité. Leur demander d’expliquer ce qu’ils font et d’écrire les opérations correspondantes. En général ceux qui ne parvenaient à résoudre le problème avant, ou qui produisaient n’importe quelle opération avec 78 et 6 (sauf la division) s’engagent au moins dans une procédure qui s'appuie sur une addition ou une soustraction réitérées. D’autres commencent à anticiper en disant par exemple « qu’on peut être sûr de remplir 5 boites car 5 fois 6 ça fait 30 et qu’il y a 78 œufs ici ».

Imaginer la situation réelle à partir d’un texte de problèmes.
Il s’agit cette fois de s’assurer qu’à partir d’un texte donner les élèves sont capables d’imaginer la situation et de la simuler eux-mêmes en la mimant ou en demandant au professeur du matériel de substitution adapté. Naturellement, pour commencer, il faut choisir des problèmes clairs et sans ambigüité de façon à ce que la simulation soit réalisable simplement.
On peut ensuite suggérer aux élèves d’utiliser un schéma ou un dessin afin de donner du sens à la situation.

Eveiller la vigilance des élèves face à un texte de problème.
Afin d’éviter que les élèves ne sélectionnent uniquement les nombres du problème on peut donner des textes dans lesquels tous les nombres sont écrits en lettres.
Proposer ensuite une opération donnée comme par exemple 7 + 12 = 19 et demander aux élèves d’inventer un problème dont la solution sera obtenue en faisant cette opération.
On peut ensuite demander simplement aux élèves de construire un problème dont la solution sera obtenue par une soustraction sans donner de nombres.
Faire trouver parmi plusieurs solutions numériques utilisant les mêmes nombres, celle qui correspond à la solution d’un problème donné.
Proposer des problèmes avec des données inutiles et/ou manquantes et les faire mettre en évidence par els élèves.

Découvrir la structure opératoire d’un problème.
Proposer des problèmes dans lesquels on a enlevé les nombres.
Exemple : J’ai acheté….. kilos de pommes de terre à ….. euros le kilo. Combien ai-je dépensé ?
Pour « résoudre » un tel problème, ou du moins pour trouver le type d’opération qui permet de le résoudre, il faut inventer des nombres à mettre dans le texte et chercher le moyen de le résoudre. En ce cas on peut choisir des nombres entiers simples. Cela pourra être ensuite une méthode de résolution quand justement les nombres du texte gênent l’élève (nombres à virgule ou fractionnaires plus tard), l’élève pourra toujours remplacer ces nombres par des nombres plus simples lui permettant de retrouver la structure opératoire du problème.

Proposer des problèmes impossibles.
On peut aussi proposer des problèmes pour lesquels la question est sans rapport avec le problème (type l’âge du capitaine) ou des problèmes impossibles du genre : J’ai 80 cents dans mon porte monnaie et je n’ai que deux pièces. Quelles sont ces deux pièces ? Dans ce dernier cas, un travail intéressant peut-être fait autour des arguments qui prouvent que le problème n'a pas de solution ou encore autour de la question de savoir si avec trois pièces, par exemple, le problème admet des réponses.

Utiliser des contes et des bandes dessinées comme support à la résolution de problèmes.
D’abord au travers de contes ou de nouvelles on peut faire sortir les représentations qu’ont les élèves de ce qu’est un problème. Les textes « le problème » extrait des contes du chat perché de Marcel Aymé ainsi que « Le problème » de Christian Lamblin extrait de Pièces et saynètes pour les enfants de Dominique Chauvel chez Retz sont de bons outils.
On peut aussi utiliser des problèmes et énigmes figurant dans plusieurs ouvrages et présentés sous forme de nouvelles (« Les Enigmes de Shéhérazade » de Raymond Smullyan Flammarion et « Le démon des math » de Hans Magnus Enzensberger Seuil). Le livre « Arithmétique impertinente » propose, quant à lui, des problèmes loufoques.
On peut aussi inventer ou faire inventer aux élèves un conte parsemé d’énigmes.
On peut utiliser des albums existants (voir les livres « jeux de chapeaux », « le pot magique », « le loup, le crapaud et les trois petits cochons » de Mitsumasa Anno et Akihiro Nozaki père Castor.)
On peut aussi détourner des contes traditionnels ou des bandes dessinées et ainsi utiliser des personnages « célèbres » pour mettre en scène un problème. On évite ainsi des problèmes affectifs qui peuvent être liés à l’emploi de certains mots (comme maman ou d’autres membres de la famille) dans le problème.

Pratiquer des défis mathématiques.
Il s’agit de laisser du temps aux élèves pour résoudre un problème. Pour cela prévoir dans la semaine des plages d’une dizaine de minutes qui seront réservées à la résolution de problèmes défis (si possible avec solutions multiples). Le ou les problèmes sont donnés au début de la semaine et les solutions sont mises en commun seulement à la fin de la semaine. On peut prévoir une batterie d’exercices défis. L’objectif d’une telle activité est de permettre aux élèves de vivre ce qu’est vraiment une recherche de problème. On peut en effet ne pas trouver la solution immédiatement mais avec du temps et surtout en laissant reposer le problème, la solution peut s’avérer plus simple qu’on ne l’avait imaginée. C’est ce qui vit toute personne qui fait des mots croisés ou fléchés et qui trouve la solution après avoir laissé reposer la grille quelque temps.
Les activités proposées dans cette progression ont avant tout pour but que les élèves s’engagent dans la résolution de problème, si possible avec plaisir, en tout cas sans appréhension. C’est pour cela qu’on a proposé de multiples éléments permettant d’atteindre un tel objectif.

(1) Fortement inspiré de « Françoise Cerquetti-Aberkane Enseigner les mathématiques à l’école Hachette Education 2007 »

 
Françoise Cerquetti-Aberkane  (2010)  
   

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